Теорема Штейнера

Теорема Штейнера
|AE|=|BD|,\,\alpha=\beta,\, \gamma=\delta

Теорема Штейнера — Лемуса

Если в треугольнике равны 2 биссектрисы, то этот треугольник является равнобедренным.

это с виду простое утверждение не имеет простого классического доказательства, хотя алгебраическое доказательство можно легко провести, используя формулу о длине биссектрисы l_c=\frac{\sqrt{4abp(p-c)}}{a+b}.

История доказательства

Впервые доказательство было дано в работах немецких геометров Штейнера и Лемуса. С тех пор это утверждение носит их имя.

В 1963 году журнал American Mathematical Monthly объявил конкурс на лучшее доказательство теоремы. Было прислано много доказательств, среди которых обнаружились интересные ранее неизвестные. Одно из лучших, по мнению редакции, приведено в [1]. Оно строится от противного, далее рассматривая окружность, проходящую через 4 точки.

В советской литературе распространено доказательство, основанное на следующем признаке равенства треугольников: если сторона, противолежащий этой стороне угол и биссектриса этого угла одного треугольника равны соответствующим элементам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Вариации и обобщения

  • Аналогичная теорема для биссектрис внешних углов (отрезков биссектрис внешних углов, проведенных до продолжения сторон) неверна. Один из контрпримеров — треугольник Ботемы — с углами 12°, 132° и 36°. В нём отрезки биссектрис внешних к первым двум углов, проведённых до пересечения с продолжениями сторон, равны стороне, соединяющей их вершины.

Литература

  1. ↑ Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Полезное


Смотреть что такое "Теорема Штейнера" в других словарях:

  • Теорема Штейнера — Лемуса — Теорема Штейнера Лемуса …   Википедия

  • Теорема Штейнера-Понселе — Теорема Штейнера  Понселе  теорема из области геометрических построений, утверждающая, что любое построение, выполнимое на плоскости циркулем и линейкой, можно выполнить одной линейкой, если нарисована хотя бы одна окружность и отмечен… …   Википедия

  • Теорема Штейнера (значения) — Существует несколько теорем Штейнера: В теоретической механике Теорема Штейнера  о связи моментов инерции относительно параллельных осей. В планиметрии Теорема Штейнера Лемуса  о биссектрисах. Теорема Штейнера  метрическая. Теорема …   Википедия

  • Теорема Штейнера (планиметрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Штейнера (значения). Теорема Штейнера  утверждение евклидовой планиметрии: Через вершину A треугольника ABC внутри него проведены две прямые, образующие равные углы со сторонами AB и… …   Википедия

  • Теорема Гюйгенса-Штейнера — Иллюстрация теоремы для момента площади. Теорема Гюйгенса  Штейнера, или просто теорема Штейнера (названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астронома …   Википедия

  • Теорема Мора — Маскерони — Теорема Мора  Маскерони сводит построения циркулем и линейкой к построениям одним циркулем. Точнее говоря, возможно провести одним только циркулем операции, для которых могла бы потребоваться линейка: По данным точкам A, B, C, D найти точку… …   Википедия

  • Теорема Мора — Теорема Мора  Маскерони сводит построения циркулем и линейкой к построениям одним циркулем. Точнее говоря, возможно провести одним только циркулем такие операции, для которых могла бы потребоваться линейка: По данным точкам A, B, C, D найти… …   Википедия

  • Теорема Мардена — даёт геометрическую связь между нулями комплексного многочлена третьей степени и нулями его производной: Теорема мардена …   Википедия

  • Эллипс Штейнера — Эллипсы Штейнера: Для данного треугольника существует единственное аффинное преобразование, которое переводит правильный треугольник в данный треугольник. Образ вписанной окружности правильного треугольника при таком преобразовании является… …   Википедия

  • Момент инерции — Размерность L2M Единицы измерения СИ кг·м² СГС …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»