Статическая изотропная метрика

Статическая изотропная метрика — это метрика определяющая статическое изотропное гравитационное поле. Частным случаем этой метрики является метрика Шварцшильда, на случай пустого (ничем не заполненного) пространства-времени^[1].

Определение

Под словами статическое и изотропное понимается следующее: всегда можно найти набор координат близких к координатам Минковского $x^1 , x^2 , x^3 , x^0 = t$, такой что инваринтное собственное время $d\tau^2 =-g_{\mu \nu}dx^\mu dx^\nu$ не зависит от $t$, а зависит от $\mathbf{x}, \mathbf{dx}$ только через инварианты группы поворотов: $\mathbf{x^2}, \mathbf{x}\cdot\mathbf{dx}, \mathbf{dx^2}$. Самый общий вид записи интервала: $d \tau^2 = F(r)dt^2 - 2E(r)dt\mathbf{x}\cdot\mathbf{dx} - D(r)(\mathbf{x}\cdot\mathbf{dx})^2 - C(r)\mathbf{dx^2},$

где $F, E, C, D$ - неизвестные функции величины $r \equiv ( \mathbf{x}\cdot\mathbf{x} )^{1/2}$

Сведение к стандартному виду

Выгодно заменить $\mathbf{x}$ сферическими полярными координатами $r,\theta,\phi$:

$x^1 = r \sin \theta \cos \varphi\,;$

$x^2 = r \sin \theta \sin \varphi\, ;$

$x^3 = r \cos\varphi\, .$

Интервал в таком случае примет вид:

$d \tau^2 = F(r)dt^2 - 2rE(r)dtdr - r^2 D(r)dr^2 - C(r)(dr^2 + r^2d\theta^2 + r^2 \sin^2\theta d\varphi^2)\,$,

Мы можем установить наши часы по определению новой временной координаты

$t' \equiv t + \Phi (r)\,$

где $\Phi (r)$ - произвольная функция от $r$. Это позволяет исключить недиагональных элемент $g_{tr}$, положив

$\frac{d\Phi}{dr} = - \frac{rE(r)}{F(r)}$

Тогда интервал выражается так:

$d \tau^2 = F(r)dt'^2 - r^2 G(r)dr^2 - C(r)(dr^2 + r^2d\theta^2 + r^2 \sin^2\theta d\varphi^2)\,$

$G(r)\equiv r^2 \left (D(r)+ \frac{E^2(r)}{F(r)} \right)$

Мы можем переопределить радиус $r$ и, тем самым, наложить еще одно условие на функции $F,G,C$, например следующим образом $r' \equiv r^2C(r)$ . Тогда мы получим так называемую стандартную форму для статической изотропной метрики:

$d \tau^2 = B(r')dt'^2 - A(r')dr'^2 - r'^2(d\theta^2 +\sin^2\theta d\varphi^2)\,$

где

$B(r)\equiv F(r')$

$A(r)\equiv (1 + \frac{G(r)}{C(r)})\left( 1 + \frac{r}{2C(r)} \frac{dC(r)}{dr} \right)^{-2}.$

После последнего преобразования метрический тензор имеет следующие ненулевые компоненты:

$g_{rr}=A(r)$

$g_{\theta \theta}=r^2$

$g_{\phi \phi}=r^2 sin^2\theta$

$g_{tt}=-B(r)$

Где функции $A(r)$ і $B(r)$ должны быть определении путем решения уравнений поля. Так как $g_{\mu \nu}$ — диагональный тензор, легко написать ненулевые компоненты тензора, обратного к нему:

$g^{rr}=A^{-1}(r)$

$g^{\theta \theta}=r^{-2}$

$g^{\phi \phi}=r^{-2} sin^{-2}\theta$

$g^{tt}=-B^{-1}(r)$

Символы Кристоффеля и тензор Риччи

Аффинная связность может быть вычислена по обычной формуле:

$\Gamma^s_{ij} = {1 \over 2} \, g^{sk} \left ( \partial_i g_{jk} + \partial_j g_{ki} - \partial_k g_{ij} \right )$

Ее ненулевые компоненты оказываются равными:

$\Gamma^r_{rr} = \frac{1}{2A(r)}\frac{dA(r)}{dx}$,

$\Gamma^r_{\phi \phi} = - \frac{rsin^2\theta}{A(r)}$,

$\Gamma^\theta_{r \theta} = \Gamma^\theta_{\theta r} = \frac{1}{r}$,

$\Gamma^\phi_{r \phi} = \Gamma^\phi_{\phi r} = \frac{1}{r}$,

$\Gamma^r_{\theta \theta} = - \frac{r}{A(r)}$,

$\Gamma^r_{tt} = \frac{1}{2A(r)}\frac{dB(r)}{dx}$,

$\Gamma^\theta_{\phi \phi} = -sin\theta cos\theta$,

$\Gamma^\phi_{\theta \phi} = \Gamma^\phi_{\phi \theta} = ctg\theta$,

$\Gamma^t_{tr} = \Gamma^t_{rt} = \frac{1}{2B(r)}\frac{dB(r)}{dx}$,

Вычислим также тензор Риччи . Он задаетсья формуле

$R_{\sigma\nu} = {R^\rho}_{\sigma\rho\nu} = {\partial_\rho \Gamma^\rho_{\nu\sigma}} - \partial_\nu \Gamma^\rho_{\rho\sigma} + \Gamma^\rho_{\rho\lambda} \Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\rho\sigma} .$

Подставляя ранее полученные компоненты аффинной связности получим:

$R_{rr} = \frac{B''(r)}{2B(r)} - \frac{1}{4} \frac{B'(r)}{B(r)} \left (\frac{A'(r)}{A(r)} + \frac{B'(r)}{B(r)} \right ) - \frac{1}{r} \frac{A'(r)}{A(r)}$,

$R_{\theta \theta} = -1 + \frac{r}{2A(r)} \left ( - \frac{A'(r)}{A(r)} + \frac{B'(r)}{B(r)} \right ) + \frac{1}{A(r)}$,

$R_{\phi \phi} = sin^2 \theta R_{\theta \theta}$,

$R_{tt} = \frac{B''(r)}{2A(r)} - \frac{1}{4} \frac{B'(r)}{A(r)} \left (\frac{A'(r)}{A(r)} + \frac{B'(r)}{B(r)} \right ) - \frac{1}{r} \frac{B'(r)}{A(r)}$,

(Штрих теперь означает дифференцирование по $r$ ).Вывод о том, что $R_{\theta r}, R_{\theta \phi}, R_{\phi r}, R_{\phi t}, R_{\theta t}$ исчезают и о том что $R_{\phi \phi} = sin^2R_{\theta \theta}$ является следствием инвариантности метрики ртносительно поворотов. Равенство нулю $R_{tr}$ связано с тем, что мы установили наши часы так что метрика оказалась инвариантина относительно обращения времени $t \leftrightarrow -t$.

Примечания

1. ↑ Вейнберг С. Гравитация и космология. — M.: Мир, 1975.