- Тождества Ньютона
-
В математике тождества Ньютона, также известные как формулы Ньютона-Жирара, задают соотношения между двумя типами симметрических многочленов, а именно между симметричным многочленом суммы степенного ряда и элементарным симметриченым многочленом. Для монического многочлена P они дают возможность найти сумму k-тых степеней всех корней P (с учётом кратности) выражения через коэффициенты P, без фактического нахождения этих корней. Эти тождества были открыты Исааком Ньютоном около 1666 года, и возможно, в ранних работах (1629) Альберта Жирара. Они находят применение во многих областях математики, в том числе теории Галуа, теории инвариантов, теории групп, комбинаторике, а также в других науках, в том числе в общей теории относительности.
Математические формулировки
Формулирование с помощью симметрических полиномов
Пусть x1,…, xn будут переменными, для k ≥ 1 обозначим сумму k-тых степеней этого ряда как pk(x1,…,xn) :
и для k ≥ 0 обозначим ek(x1,…,xn) элементарный симметрический многочлен, который представляет собой сумму всех возможных разных произведений k разных переменных, в частности
Тогда тождества Ньютона могут быть записаны следующим образом
для всех k ≥ 1. Для нескольких первых значений k получим:
Категория:- Тождества
Wikimedia Foundation. 2010.