Условная дизъюнкция

В математической логике, условной дизъюнкцией называется тернарная (имеющая 3 операнда) логическая операция, введенная Чёрчем^[1]. Результат условной дизъюнкции аналогичен результату более общей тернарной условной операции (if o1 then o2 else o3), которая в том или ином виде используется в большинстве языков программирования как один из способов реализации ветвления в алгоритмах. Для операндов p, q, and r, которые определяют истинность суждения, значение условной дизъюнкции [p, q, r] определяется по формуле:

$[p, q, r] ~\leftrightarrow~(q \rightarrow p) \and (\neg q \rightarrow r).$

Другими словами, запись [p, q, r] эквивалентна записи: «Если q, то p, иначе r», которую можно переписать как «p или r, в зависимости от q или не q». Таким образом, для любых значений p, q и r значение [p, q, r] равно p, если q истинно, и равно r в противном случае.

В сочетании с константами, обозначающими каждое истинное значение, условная дизъюнкция является функционально полной для классической логики.^[2] Её таблица истинности выглядит следующим образом:

Условная дизъюнкция

p	q	r	[p, q,r]
T	T	T	T
T	T	F	T
T	F	T	T
T	F	F	F
F	T	T	F
F	T	F	F
F	F	T	T
F	F	F	F

Кроме условной дизъюнкции существуют и другие функционально полные тернарные операции.

References

1. ↑ Church Alonzo Introduction to Mathematical Logic. — Princeton University Press, 1956.
2. ↑ Wesselkamper, T., «A sole sufficient operator», Notre Dame Journal of Formal Logic, Vol. XVI, No. 1 (1975), pp. 86-88.

См. также

• Булева алгебра
• Логические операции