Инвариантная производная по времени

Инвариантная производная по времени — это производная по времени инерциальной системы. В самой инерциальной системе инвариантная производная по времени есть просто обычная производная по времени: $\frac{\partial}{\partial t}$. В неинерциальной системе инвариантная производная по времени состоит из суммы обычной производной по времени $\frac{\partial}{\partial t}$ и дополнительных слагаемых, связанных со скоростью $V^i$ движения неинерциальной системы относительно инерциальной. Поле скоростей может быть неоднородным $V^i(x)$ и, в общем случае, зависеть от времени $V^i(x, t)$. Так, например, в неинерциальной системе связанной с неравномерно вращающимся колесом, поле скоростей неоднородно в пространстве и во времени. Поскольку поле скоростей $V^i(x, t)$ есть относительная скорость движения координатных систем, которые не являются материальными объектами, то эта скорость по величине может превышать скорость света и даже быть бесконечной. Никакого противоречия со специальной теорией относительности (СТО) при этом, конечно же, не возникает. Например, поле скоростей неинерциальной системы, связанной с вращающимся колесом, на достаточно большом расстоянии от центра вращения по величине превышает скорость света и стремится к бесконечности при дальнейшем удалении от центра.

Обозначим посредством $\bar{x}$ — координаты в инерциальной системе, и $x(\bar{x}, t)$ — координаты в неинерциальной. Тогда скорость движения неинерциальной системы относительно инерциальной есть:

$V^i(x, t) = \frac{\partial x^i(\bar{x}, t)}{\partial t}$

Инвариантная производная по времени от скаляра $F(x, t)$ в неинерциальной системе есть:

$D_t F(x, t) = \frac{\partial F}{\partial t} + \frac{\partial F}{\partial x^i}\frac{\partial x^i}{\partial t} = \frac{\partial F}{\partial t} + V^i(x, t) \frac{\partial F}{\partial x^i}$.

Инвариантная производная по времени от тензоров имеет дополнительные слагаемые, связанные с преобразованием их компонент при переходе из одной системы координат в другую $\bar{x} \to x(\bar{x}, t)$. Так, например, для векторов и ковекторов имеем:

$A^i = \frac{\partial x^i}{\partial \bar{x}^j}\bar{A}^j$;

$A_i = \frac{\partial \bar{x}^j}{\partial x^i}\bar{A}_j$.

Следовательно,

$D_t A^i = \frac{\partial A^i}{\partial t} + V^j \frac{\partial A^i}{\partial x^j} - A^j \frac{\partial V^i}{\partial x^j}$;

$D_t A_i = \frac{\partial A_i}{\partial t} + V^j \frac{\partial A_i}{\partial x^j} + A_j \frac{\partial V^j}{\partial x^i}$.

Аналогично вычисляются инвариантные производные по времени от тензоров высших рангов.

Важным свойством инвариантной производной по времени является то, что все производные по пространственным координатам $\frac{\partial}{\partial x^i}$ в правых частях приведённых выше выражений можно заменить на ковариантные производные, согласованные с метрикой пространства $dl^2 = \gamma_{ij} dx^i dx^j$. То есть,

$D_t A^i = \partial_t A^i + V^j A^i_{;j} - A^j V^i_{;j}$,

$D_t A_i = \partial_t A_i + V^j A_{i;j} + A_j V^j_{;i}$,

при этом слагаемые со связностями Кристоффеля взаимно сокращаются.

Рассмотренные выше «добавки» к обычным производным по времени являются Ли — вариациями (или, иначе, производными Ли) тензорных полей вдоль векторного поля $V^i$, которые были изучены выдающимся норвежским математиком Софусом Ли (1842—1899).

Всем известные центробежное и кориолисово ускорения, появляющиеся во вращающейся неинерциальной системе,- суть дополнительные слагаемые в инвариантной производной по времени от вектора скорости движущейся материальной точки.

Литература

• Д. Е. Бурланков, Динамика пространства. Монография 2005 г. 179 стр.

Для улучшения этой статьи желательно?: Проставить интервики в рамках проекта Интервики.