Функция Мёбиуса

Функция Мёбиуса $\mu(n)$ — мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 году.

Определение

$\mu(n)$ определена для всех натуральных чисел $n$ и принимает значения ${-1,\;0,\;1}$ в зависимости от характера разложения числа $n$ на простые сомножители:

• $\mu(n)=1$ если $n$ свободно от квадратов (то есть не делится на квадрат никакого простого числа) и разложение $n$ на простые множители состоит из чётного числа сомножителей;
• $\mu(n)=-1$ если $n$ свободно от квадратов и разложение $n$ на простые множители состоит из нечётного числа сомножителей;
• $\mu(n)=0$ если $n$ не свободно от квадратов.

По определению также полагают $\mu(1)=1$.

Свойства и приложения

Функция Мёбиуса мультипликативна: для любых взаимно простых чисел $a$ и $b$ выполняется равенство $\mu(ab)=\mu(a)\mu(b)$.

Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа $n$, не равного единице, равна нулю

$\sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases} 1,&n=1,\\ 0,&n>1.\end{cases}$

Это, в частности, следует из того, что для всякого непустого конечного множества количество различных подмножеств состоящих из нечётного числа элементов равно количеству различных подмножеств состоящих из чётного числа элементов — факт, применяемый также в доказательстве формулы обращения Мёбиуса.

Функция Мёбиуса связана с функцией Мертенса отношением

$M(n) = \sum_{k = 1}^n \mu(k).$

Функция Мертенса в свою очередь тесно связана с задачей о нулях дзета-функции Римана, см. статью гипотеза Мертенса.

Обращение Мёбиуса

Первая формула обращения Мёбиуса

Для арифметических функций $f$ и $g$,

$g(n)=\sum_{d\,\mid\, n}f(d)$

тогда и только тогда, когда

$f(n)=\sum_{d\,\mid\, n}\mu(d)g(n/d)$.

Вторая формула обращения Мёбиуса

Для вещественнозначных функций $f(x)$ и $g(x)$, определенных при $x\geqslant 1$,

$g(x) = \sum_{n\leqslant x} f\left(\frac{x}{n}\right)$

тогда и только тогда, когда

$f(x) = \sum_{n\leqslant x}\mu(n) g\left(\frac{x}{n}\right)$.

Здесь сумма $\sum_{n\leqslant x}$ интерпретируется как $\sum_{n=1}^{\lfloor x\rfloor}$.

См. также

• Свёртка Дирихле

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 23 мая 2012.