Гипотеза Артина

В теории чисел гипотеза Артина — это гипотеза о существовании и количественной оценке простых чисел, по модулю которых заданное целое число является первообразным корнем.

Формулировка

Для любого целого числа a, не являющегося точным квадратом и отличного от -1, существует бесконечно много простых чисел, по модулю которых a является первообразным корнем. Более того, для количества $N_a(x)$ таких простых чисел не превышающих x справедлива асимптотика: $N_a(x)\sim A(a)\frac{x}{\ln x}$ при $x\to\infty,$ где $A(a)$ — константа, зависящая только от a.

В настоящий момент неизвестно даже, верна ли гипотеза для конкретного числа a=2.

Пример

Число 2 является первообразным корнем, в частности, по модулю 3 и по модулю 5, но не по модулю 7. Последовательность простых чисел, по модулю которых 2 является первообразным корнем, начинается так:

3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, … (последовательность A001122 в OEIS)

На данный момент остаётся открытым вопрос о бесконечности этой последовательности. Гипотеза Артина предполагает утвердительный ответ на этот вопрос.

См. также

• Малая теорема Ферма
• Открытые математические проблемы

Ссылки

• Сендеров В., Спивак А. Малая теорема Ферма // Квант. — 2000. — № 4. — С. 15-18.
• M. Ram Murty (1988). «Artin's conjecture for primitive roots». Mathematical Intelligencer 10: 59-67. DOI:10.1007/BF03023749.