Интегральная показательная функция

Интегральная показательная функция — специальная функция, определяемая интегралом^[1]:

$\operatorname{Ei} (x)=\int\limits_{-\infty}^x\frac{e^t}{t}dt$

Встречаются и другие определения^[2][3]:

$\operatorname{Ei} (x) = - \int\limits_{-x}^\infty \frac{e^{-t}}{t} dt = \int\limits_{-\infty}^x \frac{e^t}{t} dt = \operatorname{li} (e^x);\; [x<0];$

При положительных аргументах функция вычисляется как главное значение интеграла в смысле Коши:

$\operatorname{Ei} (x) = - \lim_{\varepsilon \to +0} \left[ \int\limits_{-x}^{-\varepsilon} \frac{e^{-t}}{t} dt + \int\limits_{\varepsilon}^{\infty} \frac{e^{-t}}{t} dt \right];\; [x>0].$

Функция $\operatorname{Ei} (x)$ представляется в виде ряда:

$\operatorname{Ei} (x) = \gamma + \ln(-x) + \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x^n}{n! n}}, \; [x<0],$

где $\gamma$ — Постоянная Эйлера — Маскерони, и с помощью данного представления может быть продолжена на всю комплексную плоскость с разрезом вдоль положительной части оси x:

$\operatorname{Ei} (z) = \gamma + \ln(-z) + \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{z^n}{n! n}},$

См. также

• Интегральный логарифм
• Интегральный синус
• Интегральный косинус

Примечания

1. ↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. // М.: Наука, 1968. — с. 625
2. ↑ Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (4-е изд.). // М.: Физматгиз, 1963. — с. 939
3. ↑ Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентые функции, т.2 // М.: Наука, 1974. — с. 147

Литература

• Математический Энциклопедический Словарь, М. 1995, с. 230.