Дебаевская длина

Деба́евская длина (дебаевский радиус) — расстояние, на которое распространяется действие электрического поля отдельного заряда в нейтральной среде, состоящей из положительно и отрицательно заряженных частиц (плазма, электролиты). Вне сферы радиуса дебаевской длины электрическое поле экранируется в результате поляризации окружающей среды (поэтому это явление еще называют экранировкой Дебая).

Дебаевская длина определяется формулой (СГС):

$d = \left\{ \sum_j {4\pi q^2_j n_j \over kT_j} \right\}^{-1/2}$

(СИ) :

$d= \left\{ \sum_j {q^2_j n_j \over \varepsilon_0 kT_j} \right\}^{-1/2}$

где: $q_j$, $n_j$, $T_j$ — электрический заряд, концентрация частиц и температура частиц типа $j$; $k$, $\varepsilon_0$ — постоянная Больцмана и диэлектрическая проницаемость вакуума. Суммирование идет по всем сортам частиц, при этом должно выполняться условие нейтральности: $\sum{q_j n_j}=0$. Важным параметром среды является число частиц в сфере радиуса дебаевской длины:

$n_D={4\pi\over 3}d^3\sum_j n_j$

Оно характеризует отношение средней кинетической энергии частиц к средней энергии их кулоновского взаимодействия:

$n_D\thicksim (E_{\rm kinetic}/E_{\rm coulomb})^{3/2}$

Для электролитов это число мало: $n_D\thicksim 10^{-4}$; для плазмы, находящейся в самых различных физических условиях, — велико. Это позволяет использовать методы кинетической теории для описания плазмы.

Понятие дебаевской длины введено Петером Дебаем в связи с изучением явлений электролиза.

Физический смысл

В системе из $N$ различных типов частиц, частицы $j$-й разновидности переносит заряд $q_j$ и имеют концентрацию $n_j(\mathbf{r})$ в точке $\mathbf{r}$. В первом приближении эти заряды можно рассматривать как непрерывную среду, характеризующуюся только своей относительной диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_r$. Распределение зарядов в такой среде создают электрическое поле с потенциалом $\Phi(\mathbf{r})$, удовлетворяющим уравнению Пуассона:

$\nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) = -\frac{1}{\varepsilon_r \varepsilon_0} \, \sum_{j = 1}^N q_j \, n_j(\mathbf{r})$,

где $\varepsilon_0$ это диэлектрическая постоянная.

Подвижные заряды не только создают потенциал $\Phi(\mathbf{r})$, но так же движутся под действием кулоновской силы, $- q_j \, \nabla \Phi(\mathbf{r})$. В дальнейшем будем считать, что система находится в термодинамическом равновесии с термостатом с температурой $T$, тогда концентрации зарядов, $n_j(\mathbf{r})$, могут быть рассмотрены как термодинамические величины, а соответствующий электрический потенциал, как соответствующий самосопряженному полю. В этих допущениях, концентрация $j$-й разновидности частица описывается Больцмановским распределением,

$n_j(\mathbf{r}) = n_j^0 \, \exp\left( - \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_B T} \right)$,

где $k_B$ есть постоянная Больцмана, а $n_j^0$ средняя концентрация зарядов типа $j$. Взяв в уравнении Пуассона вместо мгновенных значений концентрации и поля их усреднённые значения получаем уравнение Пуассона-Больцмана:

$\nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) = -\frac{1}{\varepsilon_r \varepsilon_0} \, \sum_{j = 1}^N q_j n_j^0 \, \exp\left(- \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_B T} \right)$.

Решения этого нелинейного уравнения известны для некоторых простых систем. Более общее решение может быть получено в пределе слабой связи, $q_j \, \Phi(\mathbf{r}) \ll k_B T$, разложением экспоненты в ряд Тейлора:

$\exp\left(- \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_B T} \right) \approx 1 - \frac{q_j \, \Phi(\mathbf{r})}{k_B T}$.

В результате чего получается линеаризованное уравнение Пуассона-Больцмана

$\nabla^2 \Phi(\mathbf{r}) = \left(\sum_{j = 1}^N \frac{n_j^0 \, q_j^2}{\varepsilon_r \varepsilon_0 \, k_B T} \right)\, \Phi(\mathbf{r}) - \frac{1}{\varepsilon_r \varepsilon_0} \, \sum_{j = 1}^N n_j^0 q_j$

так же известное как уравнение Дебая-Хюккеля:^{[1][2][3][4] [5]} Второе слагаемое в правой части уравнения исчезает в случае электронейтральности системы. Слагаемое в скобках имеет размерность обратного квадрата длины, что естественным образом приводит нас к определению характерной длины:

$\lambda_D = \left(\frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 \, k_B T}{\sum_{j = 1}^N n_j^0 \, q_j^2}\right)^{1/2}$

обычно называемой Дебаевским радиусом (или Дебаевской длиной). Стоит отметить, что все типы зарядов вносят вклад в Дебаевскую длину вне зависимости от их знака.

Некоторые значения дебаевских длин

Плазма	Плотность, ne(м−3)	Температура электронов, T(K)	Магнитное поле, B(T)	Дебаевская длина, λD(м)
Газовый разряд	1016	104	--	10−4
Токамак	1020	108	10	10−4
Ионосфера	1012	103	10−5	10−3
Магнитосфера	107	107	10−8	102
Солнечное ядро	1032	107	--	10−11
Солнечный ветер	106	105	10−9	10
Межзвездное пространство	105	104	10−10	10
Межгалактическое пространство	1	106	--	105

Источник: Глава 19: The Particle Kinetics of Plasma
http://www.pma.caltech.edu/Courses/ph136/yr2004/

Ссылки

1. ↑ Kirby BJ. Micro- and Nanoscale Fluid Mechanics: Transport in Microfluidic Devices.
2. ↑ Li D Electrokinetics in Microfluidics. — 2004.
3. ↑ PC Clemmow & JP Dougherty Electrodynamics of particles and plasmas. — Redwood City CA: Addison-Wesley, 1969. — P. §7.6.7, p. 236 ff.. — ISBN 0201479869
4. ↑ RA Robinson &RH Stokes Electrolyte solutions. — Mineola NY: Dover Publications, 2002. — P. 76. — ISBN 0486422259
5. ↑ See DC Brydges & Ph A Martin Coulomb Systems at Low Density: A Review