Экспонента комплексного переменного

Экспонента комплексного переменного

У этого термина существуют и другие значения, см. Экспонента (значения).

Экспоне́нта (комплексного переменного) — математическая функция, задаваемая соотношением f(z) = e^z, где z есть комплексное число.

Вообще говоря, такое определение формально и не имеет достаточной строгости. Поэтому более точно экспонента определяется как аналитическое продолжение экспоненты f(x) = e^x вещественного переменного x.

Определим формальное выражение

$e^z=e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}$.

Определенное таким образом выражение на вещественной оси будет совпадать с классической вещественной экспонентой. Для полной корректности построения необходимо доказать аналитичность функции e^z, т.е. показать, что e^z разлагается в некоторый сходящийся к данной функции ряд. Покажем это:

$f(z)=e^z=e^x\cdot e^{iy}=e^{iy}\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$

Сходимость данного ряда легко доказывается:

$\left|e^{iy}\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\right|=\left|\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\right|\le\sum_{n=0}^\infty\left|\frac{x^n}{n!}\right|=e^{|x|}$.

Ряд всюду сходится абсолютно, т.е. вообще всюду сходится, таким образом, сумма этого ряда в каждой конкретной точке будет определять значение аналитической функции f(z) = e^z. Согласно теореме единственности, полученное продолжение будет единственно, следовательно, функция e^z является аналитической и определенной.

Комплексная экспонента, в отличие от экспоненты вещественного переменного, периодична. Из формулы Эйлера следует, что

$e^{i\varphi}=e^{i(\varphi+2\pi)}$.

Отметим, кроме того, что функция e^z имеем чисто мнимый предел.

Из периодичности комплексной экспоненты следует, что максимальной областью однолистности будет горизонтальная полоса на комплексной плоскости $\{z:2\pi(k-1)<\Im z<2\pi k\}$

Литература

• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
• Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). — Издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 209 с.