Цилиндрическая система координат

Цилиндрическая система координат
Точка в цилиндрических координатах.

Цилиндрической системой координат называют трёхмерную систему координат, являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты (обычно обозначаемой z), которая задаёт высоту точки над плоскостью.

Точка P даётся как (\rho,\;\varphi,\;z). В терминах прямоугольной системы координат:

  • \rho\geqslant 0 — расстояние от O до P', ортогональной проекции точки P на плоскость XY. Или то же самое, что расстояние от P до оси Z.
  • 0\leqslant\varphi\ < 360^\circ — угол между осью X и отрезком OP'.
  • z равна аппликате точки P.

При использовании в физических науках и технике международный стандарт ISO 31-11 рекомендует использовать обозначения (\rho,\;\varphi,\;z).

Некоторые математики используют (r,\;\theta,\;z).

Цилиндрические координаты удобны при анализе поверхностей, симметричных относительно какой-либо оси, если ось Z взять в качестве оси симметрии. Например, бесконечно длинный круглый цилиндр в прямоугольных координатах имеет уравнение x^2+y^2=c^2, а в цилиндрических — очень простое уравнение \rho=c. Отсюда и идёт для данной системы координат имя «цилиндрическая».

Содержание

Переход к другим системам координат

2 точки в цилиндрических координатах.

Поскольку цилиндрическая система координат — только одна из многих трёхмерных систем координат, существуют законы преобразования координат между цилиндрической системой координат и другими системами.

Декартова система координат

Закон преобразования координат от цилиндрических к декартовым:

\begin{cases}
x=\rho\cos\varphi, \\
y=\rho\sin\varphi, \\
z=z.
\end{cases}

Закон преобразования координат от декартовых к цилиндрическим:

\begin{cases}
\rho=\sqrt{x^2+y^2}, \\
\varphi=\mathrm{arctg}\left(\dfrac{y}{x}\right), \\
z=z.
\end{cases}

Якобиан равен:

J=\rho.

Дифференциальные характеристики

Цилиндрические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:

g_{ij}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\ 0 & \rho^2 & 0\\ 0 & 0 & 1
\end{pmatrix},\quad
g^{ij}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\ 0 & 1/\rho^2 & 0\\ 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
  • Квадрат дифференциала длины кривой
ds^2=d\rho^2+\rho^2\,d\varphi^2+dz^2.
H_\rho=1,\quad H_\varphi=\rho,\quad H_z=1.
\Gamma^1_{22}=-r,\quad \Gamma^2_{21}=\Gamma^2_{12}=\frac{1}{r}. Остальные равны нулю.

См. также



Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Полезное


Смотреть что такое "Цилиндрическая система координат" в других словарях:

  • цилиндрическая система координат — 4.30 цилиндрическая система координат (cylindrical coordinate system): Трехмерная система координат, описывающая положение точки в пространстве с помощью трех координат радиуса, азимута и высоты. Источник …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • цилиндрическая система координат — cilindrinė koordinačių sistema statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. cylindrical co ordinates system vok. Zylinderkoordinatensystem, n rus. цилиндрическая система координат, f pranc. système de coordonnées cylindriques, m …   Fizikos terminų žodynas

  • Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки. В… …   Википедия

  • СИСТЕМА КООРДИНАТ — совокупность условий, определяющих положение точки на прямой, на плоскости, в пространстве. Существуют различные С. к.: декартова, косоугольная, цилиндрическая, сферическая, криволинейная и др. Линейные и угловые величины, определяющие положение… …   Большая политехническая энциклопедия

  • Полярная система координат — Полярная сетка, на которой отложено несколько углов с пометками в градусах. Полярная система координат  двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами  полярным углом и полярны …   Википедия

  • Сферическая система координат — Точка имеет три декартовых и три сферических координаты Сферическую систему координат удобно определять, соотносясь с д …   Википедия

  • Ортогональная система координат — Ортогональными называются координаты в которых метрический тензор имеет диагональный вид. где d В ортогональных системах координат q = (q1, q², …, qd) координатные поверхности ортогональны друг другу. В частности, в декартовой системе координат… …   Википедия

  • Цилиндрические шахматы — Цилиндрическая доска Цилиндрические шахматы  вариант игры в шахматы, в котором игровая доска считается развёрткой цилиндра. Суще …   Википедия

  • Цилиндрические параболические координаты — Координатные поверхности в координатах параболического цилиндра. Цилиндрические параболические координаты (координаты параболи …   Википедия

  • 2: — Терминология 2: : Активирующее излучение Излучение, после воздействия которого материал становится радиоактивным Определения термина из разных документов: Активирующее излучение 4.27 антропометрическая точка (anthropometric landmark): Контрольная …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»