Шар (стереометрия)

Шар (стереометрия)

У этого термина существуют и другие значения, см. Шар.

шар

Шар — геометрическое тело, ограниченное поверхностью, все точки которой находятся на равном расстоянии от центра. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой.

Связанные определения

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами.

Свойства

Площадь поверхности S и объём V шара радиуса r определяются формулами:

• S = 4πr²

• S = πd²

• $V = \frac{4}{3} \pi r^3$

Доказательство  

Возьмём четверть круга радиуса R с центром в точке $\left ( R; 0\right )$. Уравнение окружности этого круга - (x − R)² + y² = R², откуда y² = 2Rx − x².

Функция $y=\sqrt{2Rx-x^2}, x \in (0;R)$ непрерывная, возрастающая, неотрицательная. При вращении четверти круга вокруг оси Ox образуется полушар, следовательно:

${1 \over 2} V = \pi \int\limits_0^R (2Rx-x^2)dx = \pi \cdot \Bigl. \left ( Rx^2 - \frac {x^3} {3} \right ) \Bigr|_0^R= R^3-\frac {R^3} {3} = \frac {2} {3} \pi R^3$

Откуда $V=\frac {4} {3} \pi R^3$Ч. т. д.

• $V = \frac{\pi d^3}{6}$

Доказательство  

$d=2R, V={4 \over 3} \pi R^3 = {4 \over 3} \pi \left ( {d \over 2} \right )^3 = {4 \over 3} \pi \frac {d^3} {8} = \frac {\pi d^3} {6}$Ч. т. д.

См. также

• Шаровой слой
• Гиперсфера
• Сферический слой