Задача о перемещении дивана

Диван Хаммерсли.

Задача о перемещении дивана была сформулирована канадским математиком австрийского происхождения Мозером (англ.) в 1966 году.

Постановка задачи

Задача сводится к двумерной идеализации житейской проблемы о перемещении мебели. В двумерном пространстве определите жесткое тело наибольшей площади А, которое может быть перемещено в Г-образном «коридоре», образованном «тоннелями» шириной в единицу измерения, сходящимися под прямым углом. Полученное значение А принято называть константой дивана (в альтернативных формулировках той же самой задачи этот предмет является идеализацией стола, или же баржи или корабля в Г-образном канале).

Поиски решения

Так как полукруг единичного радиуса легко проводится за угол «коридора», оценкой снизу для константы дивана является $\pi/2\approx 1,570796327$. Простая оценка сверху показывает также, что константа дивана не превышает $2\sqrt2 \approx 2,828427124$^[1][2].

Джон Хаммерсли существенно повысил оценку снизу до

$\pi/2 + 2/\pi\approx 2.207416099$

с помощью фигуры, напоминающей телефонную трубку (см. рис.), состоящей из двух четвертей кругов единичного радиуса по обеим сторонам от прямоугольника $1\times4/\pi$ с удаленным полукругом радиуса $2/\pi$.^[3][4][5]

В 1992 году Джозеф Гервер дополнительно улучшил оценку константы дивана снизу до 2,219531669. Его фигура ограничена восемнадцатью дугами аналитических кривых.^[6][7]

Определение точного значения константы дивана является открытой проблемой.

Примечания

1. ↑ Neal R. Wagner (1976). «The Sofa Problem». The American Mathematical Monthly 83: 188–189. DOI:10.2307/2977022.
2. ↑ Я. Стюарт, Another Fine Math You've Got Me Into, Courier Dover Publications, 2004.
3. ↑ H.T. Croft, K.J. Falconer, R.K. Guy Unsolved Problems in Geometry. — Springer, 1994. — P. 198. — ISBN 9780387975061
4. ↑ Задача о перемещении дивана на Mathsoft (содержит диаграмму дивана Гервера)
5. ↑ Форум Gambler.ru — Тема: Коридор, Г (содержит диаграмму дивана Гервера)
6. ↑ Joseph L. Gerver (1992). «On Moving a Sofa Around a Corner». Geometriae Dedicata 42 (3): 267—283. DOI:10.1007/BF02414066.
7. ↑ Weisstein, Eric W. Задача о перемещении дивана (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.