Теорема Рунге

Теорема Рунге (также аппроксимационная теорема Рунге) в комплексном анализе — утверждение о возможности равномерного приближения голоморфной функции многочленами. Сформулирована Карлом Рунге в 1885 году.

Формулировка

Если $K\subset\mathbb C$ — компактное пространство, $A$ — множество, содержащее хотя бы по одной точке из каждой ограниченной связной компоненты множества ${\mathbb C}\setminus K$ и $f$ голоморфная в окрестности $K$, то существует последовательность полиномиальных функций $\{r_n\}$ с полюсами во множестве $A$, приближающая функцию $f$ равномерно.

Обобщения

Всякая голоморфная в произвольной области $D\subset\mathbb C$ функция может быть равномерно приближена последовательностью рациональных функций с полюсами вне $D$, это утверждение также фигурирует как теорема Рунге.

Ещё более общий результат — теорема Мергеляна, утверждающая о необходимости и достаточности для равномерного приближения многочленами функции, голоморфной внутри компакта $K\subset\mathbb C$ и непрерывной на нём, голоморфного продолжения во все ограниченные связные компоненты множества $\mathbb C\backslash K$.

Литература

[ Рунге Теорема] — статья из Математической энциклопедии. Чирка Е. М.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Проставив сноски, внести более точные указания на источники.