Функция Жуковского

Пример действия функции Жуковского — окружность сверху переведена в профиль крыла самолёта.

Функция Жуковского — конформное отображение, используемое для понимания некоторых принципов профиля крыла. Названа в честь Николая Жуковского, русского учёного, создателя аэродинамики.

Функция Жуковского определяется как преобразование комплексной плоскости $f: \mathbb{C}\setminus\{0\} \rightarrow \mathbb{C}$ с формулой

$f(z) = \frac{1}{2} \left(z+\frac{1}{z}\right)$

Она относится к классическим элементарным функциям комплексного анализа, так как большинство тригонометрических и гиперболических функций представимы в виде суперпозиции экспоненты и функции Жуковского.

Применение её в аэродинамике основано на том факте, что функция Жуковского отображает окружность на некую замкнутую кривую, подобную профилю самолетного крыла в разрезе. Вариацией радиуса и положения круга относительно $0$ можно менять угол изгиба и толщину крыла.

Расчёт потенциального потока для окружности (в двумерном случае) выполняется достаточно просто. Далее можно применить к результату преобразование Жуковского и получить потенциальный поток для профиля крыла, соответствующего данной окружности. И на основании его делать выводы о подъёмной силе, сопротивлении…

Преобразование Кармана — Трефтца

Для более тонкого построения применяется представление функции Жуковского в виде суперпозиции трех функций, в каждой из которых может присутствовать некий параметр. Вкупе с вариацией отображаемого круга так называемая обобщенная функция Жуковского или преобразование Кармана — Трефтца представляет собой мощный инструмент для моделирования:

$f(z)=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)=S_3(S_2(S_1(z)))$, где

$S_3(z)=\frac{1+z}{1-z}$,

$\displaystyle S_2(z)=z^2$,

$S_1(z)=\frac{z-1}{z+1}$.