- Тензор напряжений
-
Те́нзор напряже́ний — тензор второго ранга, состоящий из девяти величин, представляющих механические напряжения в произвольной точке нагруженного тела. Эти девять величин записываются в виде таблицы, в которой по главной диагонали стоят нормальные напряжения в трёх взаимно перпендикулярных осях, а в остальных позициях — касательные напряжения, действующие на трёх взаимно перпендикулярных плоскостях.
Компоненты тензора напряжений в декартовой системе координат (т.е. ) вводят следующим образом. Рассматривают бесконечно малый объём тела (сплошной среды) в виде прямоугольного параллелепипеда, грани которого ортогональны координатным осям и имеют площади . На каждой грани параллелепипеда действуют поверхностные силы . Если обозначить проекции этих сил на оси как , то компонентами тензора напряжений называют отношение проекций силы к величине площади грани, на которой действует эта сила:
По индексу здесь суммирования нет. Компоненты , ,, обозначаемые также как , , — это нормальные напряжения, они представляют собой отношение проекции силы на нормаль к площади рассматриваемой грани :
- и т.д.
Компоненты , ,, обозначаемые также как , , — это касательные напряжения, они представляют собой отношение проекции силы на касательные направления к площади рассматриваемой грани :
- и т.д.
При отсутствии собственного момента импульса сплошной среды, а также объемных и поверхностных пар тензор напряжений симметричен (так называемый закон парности касательных напряжений), что является следствием уравнения баланса момента импульса. В частности, тензор напряжений симметричен в классической теории упругости и гидродинамике идеальной и линейно-вязкой жидкостей.
Содержание
Тензор напряжений в релятивистский физике
С точки зрения теории относительности, компоненты тензора напряжений являются девятью пространственными компонентами тензора энергии-импульса.
Тензор напряжений в классической электродинамике
В классической электродинамике тензор напряжений электромагнитного поля в СИ имеет вид:
где — плотность энергии электромагнитного поля.
См. также
- Тензор энергии-импульса
- Теория упругости
- Тензор деформации
- Тензор упругости
- Закон Гука
Литература
Категории:- Механика сплошных сред
- Тензорное исчисление
Wikimedia Foundation. 2010.