Аксиомы отделимости

Определению топологического пространства удовлетворяет широкий класс множеств. В частности, оно включает пространства, топология которых мало похожа на топологию метрического пространства. Поэтому, на топологические пространства часто налагают дополнительные требования, в частности, аксиомы отделимости.

Известно множество аксиом отделимости, кроме как по имени, они обозначаются с помощью символов T₀, T₁, T₂, T₃, T_3½, T₄ и т. д. Буква T в этих обозначениях происходит от нем. Trennungsaxiom, что означает аксиома отделимости.

T₀ — аксиома Колмогорова

Для любых двух различных точек $x$ и $y$ по крайней мере одна точка должна иметь окрестность, не содержащую вторую точку.

T₁ — аксиома Тихонова

Для любых двух различных точек $x$ и $y$ должна существовать окрестность точки $x$, не содержащая точку $y$ и окрестность точки $y$, не содержащая точку $x$.

T₂ — аксиома Хаусдорфа

Основная статья: Хаусдорфово пространство

Для любых двух различных точек $x$ и $y$ должны найтись непересекающиеся окрестности $U(x)$ и $V(y)$.

T₃

Для любого замкнутого множества и не содержащейся в нем точки существуют их непересекающиеся окрестности.

Пространства, удовлетворяющие аксиомам T₁ и T₃, называются регулярными пространствами.

T_3½

Для любого замкнутого множества и не содержащейся в нем точки существует непрерывная числовая функция, равная нулю на множестве и единице в точке. Пространства, удовлетворяющие аксиомам T₁ и T_3½ называются вполне регулярными пространствами или тихоновскими пространствами.

T₄

Для любых двух замкнутых непересекающихся множеств существуют их непересекающиеся окрестности.

Пространства, удовлетворяющие аксиомам T₁ и T₄, называются нормальными пространствами.

Свойства

• Аксиомы $T_1$ и $T_2$ не следуют из остальных аксиом.
• Хаусдорфовы пространства удовлетворяют аксиоме $T_1$, а значит и $T_0$
• Вполне регулярные пространства являются регулярными
• Нормальные пространства являются также и вполне регулярными.
• Компактные хаусдорфовы пространства являются нормальными

Литература

• О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев Задачный учебник по топологии
• Энгелькинг Р. Общая топология: Пер. с англ. — М.: Мир, 1986. — 752 с.

См. также

• Сепарабельность
• Принцип разделимости