- Резольвента (гомологическая алгебра)
-
Резольве́нта — один из важных инструментов гомологической алгебры, в частности служащая для вычисления функторов править] Проективная резольвента
Компле́ксом (X,ε) над R-модулем C называется последовательность
такая, что произведение двух последовательных гомоморфизмов равно 0. Если все X свободные, комплекс называется свободным, если проективные — проективным. Если последовательность (*) точна, то есть все гомологии Hn(X)= Ker dn/Im dn+1=0 при n>0 и H0(X)=Ker d0/Im d1= X0/Im d1=X0/Ker ε изоморфна C (считая d0:X0→0), то данный комплекс называется резольвентой. Так как любой модуль C является фактор-модулем свободного и т. д., то любой модуль C можно включить в некоторую свободную (значит, тем более проективную) резольвенту.
Функторы Extn находятся согласно следующей теореме: Если C и A — R модули, а ε:X→C — любая проективная резольвента C, то Extn(C,A) изоморфен группе когомологий Hn(X,A)=Hn(HomR(X,A))
Функторы Torn находятся согласно следующей теореме: Если C и A — R модули, а ε:X→C — любая проективная резольвента C, то Torn(C,A) изоморфен группе гомологий Hn(XÄRA)
Инъективная резольвента
Комплексом (Y,ε) под R-модулем A называется последовательность:
такая, что произведение двух последовательных гомоморфизмов равно 0. Если все Y инъективные, комплекс называется инъективным. Если последовательность (**) точна, то есть все когомологии Hn(Y)= Ker δn+1/Im δn=0 при n>0 и H0(Y)= Ker δ1/Im δ0= Ker δ1=Im ε изоморфна A (считая δ0:0→Y0), то данный комплекс называется корезольвентой (обычно в этом случае «ко» опускается и говорится об инъективной резольвенте). Так как любой модуль A является подмодулем инъективного и т. д., то любой модуль A можно включить в некоторую инъективную резольвенту.
Функторы Extn находятся согласно следующей теореме: Если C и A — R модули, а ε:A→Y — любая инъективная резольвента A, то Extn(C,A) изоморфен группе когомологий Hn(HomR(C,Y)).
Литература
- Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра -М: ИЛ, 1960
- Маклейн С. Гомология. -М: Мир, 1966
Категория:- Теория колец
Wikimedia Foundation. 2010.