Уровни Ландау

Уровни Ландау — энергетические уровни для заряженной частицы в магнитном поле. Впервые получены как решение уравнения Шрёдингера для заряженной частицы в магнитном поле Л. Д. Ландау в 1930 году. Решением этой задачи являются волновые функции электрона в гармоническом потенциале. Уровни Ландау играют существенную роль во всех кинетических явлениях в присутствии магнитного поля.

Вводные замечания

Классический случай

В классической механике движение частиц подчиняется второму закону Ньютона: ускорение равно силе, поделённой на массу, и направлено вдоль вектора силы. Сила, действующая на частицу в магнитном поле (сила Лоренца), пропорциональна произведению скорости движения частицы, напряжённости магнитного поля, заряду частицы, и синусу угла между направлением движения частицы и направлением магнитного поля. Направление силы перпендикулярно направлению магнитного поля и направлению движения частицы, и определяется правилом левой руки. Это правило можно проиллюстрировать простыми примерами:

• если частица движется вдоль магнитного поля, сила, действующая на неё, равна нулю
• если частица не заряжена, сила, действующая на неё, равна нулю
• если магнитного поля нет, сила, действующая на частицу, равна нулю
• если магнитное поле удвоить, сила, действующая на частицы, удвоится
• если скорость частицы увеличится в 10 раз (а направление движения останется тем же), сила, действующая на неё, тоже увеличится в 10 раз
• если частица движется поперёк магнитного поля, а другая, с тем же зарядом и с той же скоростью — под углом 30° к магнитному полю, сила, действующая на вторую частицу, в 2 раза меньше (потому что Sin 30° = 1/2) .

Заряженная частица в постоянном магнитном поле будет или вращаться по окружности в плоскости, перпендикулярной вектору индукции магнитного поля, или двигаться по винтовой линии, причём ось спирали параллельна оси магнитного поля. Частица может иметь какую угодно энергию, и радиус окружности или спирали может быть каким угодно. Это было известно ещё в XIX веке.

Квантовый случай

В квантовой механике у частиц нет определённой координаты и можно говорить только о вероятности найти частицу в некоторой области пространства. Состояние частицы описывается волновой функцией, а динамика частицы (или системы частиц) описывается не вторым законом Ньютона, а гораздо более сложным уравнением Шредингера. (Уравнение Шредингера справедливо только в нерелятивистском случае, то есть когда скорости движения частиц значительно меньше скорости света, в противном случае действует ещё более сложное уравнение Дирака).

Характерной особенностью уравнения Шредингера является то, что его собственные значения могут быть дискретны. Например, планеты могут вращаться вокруг Солнца на орбитах с любым радиусом и могут иметь непрерывный набор значений энергии, а электрон в атоме водорода в квазиклассическом приближении «обращается» вокруг протона на орбитах с определёнными радиусами и может обладать только некоторыми разрешенными энергиями, представленными в энергетическом спектре.

С открытием законов квантовой механики возник вопрос: что происходит с движением частиц в магнитном поле в квантовомеханическом случае? Для решения этого вопроса необходимо решить уравнение Шредингера. Впервые это сделал 1930 году советский физик Ландау. Оказалось, что вдоль магнитного поля частица может двигаться с любой скоростью; но при заданной проекции скорости поперек магнитного поля частица может занимать дискретные энергетические уровни. Эти уровни были названы уровнями Ландау.

Ниже приводится уравнение Шредингера и его решения, причём:

• Уравнение (1) описывает энергетические уровни частицы
• Уравнение (3) является уравнением Шредингера в магнитном поле.
• Уравнение (7) описывает волновые функции
• Уравнение (10) описывает энергетические уровни частицы, когда есть не только магнитное поле, но и электрическое
• Уравнение (11) описывает энергетические уровни частицы в двумерном пространстве.

Трёхмерный случай

Энергетический спектр для электрона (значение энергии в зависимости от его состояния) в магнитном поле в трёхмерном случае представляется в простом виде

$E(n,k_z)=\frac{\hbar^2k_z^2}{2m}+\hbar\omega_c(n+\frac{1}{2}) \qquad$

где $\hbar$ — приведенная постоянная Планка, $\omega_c=\frac{eB}{mc}$ — циклотронная частота (СГС), $\! B$ — внешнее магнитное поле, $\! c$ — скорость света в вакууме, $\! e$ — элементарный электрический заряд, $\! m$ — масса электрона, $\! k_z$ — волновой вектор в направлении $\! \overrightarrow{z}$, которое принято за направление магнитного поля. Здесь энергетический спектр $\! ( 1 )$ легко интерпретировать. Движение вдоль магнитного поля, где магнитное поле не влияет на заряженную частицу, представлено плоскими волнами, как для свободной частицы с волновым вектором $\! k_z$. Движение в направлении, перпендикулярном магнитному полю, ограничено, и энергетический спектр полностью квантован. Хотя движение частицы происходит в трёхмерном пространстве, энергетический спектр зависит только от двух квантовых чисел: непрерывного $\! k_z$ и дискретного $\! n$. Это означает, что спектр частицы является вырожденным. В трёхмерном случае наблюдается двукратное вырождение энергии по проекции волнового вектора на направление магнитного поля $\! \pm k_z$. В дополнение к этому имеется вырождение уровня Ландау, равное

$\! N_L=\frac{eBS}{hc}, \qquad ( 2 )$

где $\! h$ — постоянная Планка. Кратность вырождения каждого из уровней Ландау равна отношению площади сечения образца плоскостью, перпендикулярной магнитному полю, к площади круга с радиусом равным магнитной длине $\! l_H=\sqrt{\frac{\hbar c}{eB}}$, что является характерным размером области высокой вероятности нахождения частицы.

Кроме того, для свободных электронов в трёхмерном пространстве наблюдается приблизительное двукратное вырождение уровней энергии по спину. Это вырождение, однако, нетривиально, поскольку для него требуется, чтобы уровень Ландау для электрона со спином вниз в точности совпадал с уровнем Ландау для электрона со спином вверх плюс магнитный момент электрона на магнитное поле. Другими словами, требуется, чтобы g-фактор для электрона был в точности равен двойке (это, как учит квантовая электродинамика, не совсем так). Это требование тем более не выполняется для электронов — квазичастиц в твёрдых телах (эффективная масса электрона и его магнитный момент мало связаны). Тем не менее, задача об электроне со спином и g-фактором равным 2 представляет некоторый теоретический интерес, поскольку её можно представить как задачу, обладающую суперсимметрией (см. Генденштейн Л. Э., Криве И. В. Суперсимметрия в квантовой механике // УФН. 1985. Т. 146, Вып. 4).

О решении уравнения Шрёдингера для электрона в магнитном поле

Стационарное уравнение Шрёдингера для электрона в магнитном поле представлено в виде

$\frac{1}{2m} \left(\hat{\mathbf{p}}-\frac{e}{c}\hat{\mathbf{A}}\right)^2\Psi_n(\mathbf{r})=E_n\Psi_n(\mathbf{r}), \qquad ( 3 )$

где $\! \hat{\mathbf{p}}$ и $\! \hat{\mathbf{A}}$ — оператор импульса электрона и векторный потенциал магнитного поля соответственно, $\! \Psi_n(\mathbf{r})$ — волновая функция электрона, $\! E_n$ — энергия и индекс $\! n$ обозначает n-ый уровень Ландау. В калибровке Ландау уравнение $\! ( 3 )$ запишется в виде

$\! \left[-\frac{\hbar^2}{2m} \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)+\frac{1}{2m}\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial y}-\frac{eB}{c}x\right)^2\right]\Psi_n(x,y,z)=E_n\Psi_n(x,y,z). \qquad ( 4 )$

Чтобы разделить переменные в этом уравнении, решение удобно искать в виде произведения трёх функций

$\Psi_n(x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{L_zL_y}}e^{ik_zz}e^{ik_yy}\psi_{n,k_y}(x), \qquad ( 5 )$

где $\! L_z$ и $\! L_y$ — размеры системы, $\! k_z$ и $\! k_y$ — волновые векторы, индекс $\! k_y$ у волновой функции $\! \psi_{n,k_y}(x)$ означает, что она зависит от него как от параметра. Подставляя $\! ( 5 )$ в $\! ( 4 )$ получим одномерное уравнение для $\! \psi_{n,k_y}(x)$

$\! \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d x^2}+\frac{m\omega_c^2}{2}(x-k_yl_H^2)^2\right]\psi_{n,k_y}(x)=\epsilon_n\psi_{n,k_y}(x). \qquad ( 6 )$

Это уравнение — не что иное, как уравнение Шрёдингера для гармонического осциллятора со сдвигом минимума потенциала. Таким образом, решения запишутся в виде

$\psi_{n,k_y}(x)=\frac{1}{\sqrt{2^nn!\pi^{1/2}l_H}}e^{-\frac{(x-k_yl_H^2)^2}{2l_H^2}}H_n\left(\frac{(x-k_yl_H^2)}{l_H}\right), \qquad ( 7 )$

где $H_n(x)$ — многочлен Эрмита порядка $\! n$.

О влиянии электрического поля

Теперь рассмотрим влияние электрического поля на энергетический спектр электрона в магнитном поле. Перепишем уравнение $\! ( 6 )$ с учётом электрического поля $\! \varepsilon$, направленного по $\! x$

$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d x^2}+\frac{m\omega_c^2}{2}(x-k_yl_H^2)^2+e\varepsilon x\right]\psi_{n,k_y}(x)=E_{n,k_y}\psi_{n,k_y}(x), \qquad ( 8 )$

которое после выделения полного квадрата представляется в виде

$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d x^2}+\frac{m\omega_c^2}{2}(x-X_{k_y})^2+e\varepsilon k_yl_H^2-\frac{m}{2}v_d^2\right]\psi_{n,k_y}(x)=E_{n,k_y}\psi_{n,k_y}(x), \qquad ( 9 )$

где $\! X_{k_y}=k_yl_H^2-\frac{v_d}{\omega_c}$ и $\! v_d=c\frac{\varepsilon}{B}$. Мы видим из гамильтониана, что электрическое поле просто сдвигает центр волновой функции. Энергетический спектр задаётся следующим выражением:

$E_{n,k_y}=\hbar\omega_c\left(n+\frac{1}{2}\right)+e\varepsilon X_{k_y}+\frac{m}{2}v_d^2. \qquad ( 10 )$

Двумерный случай

В двумерном случае движение по одной из осей (например, оси z) квантовано. В этом случае спектр электронов состоит из эквидистантных уровней (с расстоянием между уровнями $\hbar \omega_c$, где $\! \omega_c$ определяется из компоненты магнитного поля вдоль оси z). Энергия электрона есть

$E(n,m)=E_m+\hbar\omega_c\left(n+\frac{1}{2}\right), \qquad ( 11 )$

где $\! E_m$ — энергия электрона, связанная с движением вдоль оси z. А так как ось z отсутствует в данном случае, то $\! E_m=0$:

$E(n)=\hbar\omega_c\left(n+\frac{1}{2}\right), \qquad ( 12 )$

Для улучшения этой статьи желательно?: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации.