Гравитационная неустойчивость

Гравитационная неустойчивость (неустойчивость Джинса) — нарастание со временем пространственных флуктуаций скорости и плотности вещества под действием сил тяготения (гравитационных возмущений).

Гравитационная неустойчивость ведёт к образованию неоднородностей (сгустков) в первоначально однородной среде и сопровождается уменьшением гравитационной энергии системы, переходящей в кинетическую энергию сжимающегося вещества, которая, в свою очередь, может переходить в тепловую энергию и излучение.

Гравитационная неустойчивость играет важную роль в ряде важнейших процессов в астрофизике: от образования галактик и их скоплений и процессов звездообразования до особенности физики аккреционных дисков.

История

Идея о гравитационной нестабильности однородной среды была высказана Исааком Ньютоном в переписке с Ричардом Бентли в 1692—1693 гг., причём Ньютон высказал предположение, что такая неустойчивость может являться причиной звёздообразования и формирования планет:^[1]

Однако материя при падении могла бы собираться в множество круглых масс, наподобие тел планет, а те, притягивая друг друга, могли бы обрести наклонность спуска и в результате падать не на большое центральное тело, а в стороне от него, и, описав вокруг него полукруг, снова начать подниматься теми же шагами и ступенями движения и скорости, какими до того они опускались, на манер комет, обращающихся вокруг Солнца.

Разработка количественной теории гравитационной неустойчивости началась работами Джеймса Джинса рассмотревшего в статье «Стабильность сферической туманности» (1902 г.) количественную теорию гравитационной нестабильности самотяготеющего газового облака^[2]. В дальнейшем теория гравитационной неустойчивости была расширена как на различные типы противодействующих самогравитации сил (давление газа и излучения, магнитные поля, центробежные силы во вращающихся системах), так и на различные геометрические конфигурации: однородную среду (проблема происхождения галактик и скоплений), плоский слой, осесимметричные системы с неоднородностями по радиусу, диски.

Неустойчивость Джинса

Качественно гравитационная неустойчивость объясняется тем, что силам тяготения газового облака противодействует давление газа (силы упругости), при этом силы тяготения прямо пропорциональны размеру газового облака, а упругости — обратно пропорциональны размеру. Следствием этого является существование критического размера газового облака (или сгустка в газовом облаке) $\! r_{crit}$, ниже которого силы упругости преобладают над силами гравитации и облако рассеивается. Расширение сгустка повышенной плотности в окружающие его области приводит к возникновению колебаний, распространяющихся со скоростью звука в окружающую его газовую среду. В свою очередь, когда размер облака превышает $\! r_{crit}$, преобладающей становится сила тяготения и облако сжимается. Таким образом, газовая среда устойчива по отношению к конденсации в небольшие сгустки и неустойчива по отношению к распаду на сгустки больши́х размеров.

Джинс рассмотрел случай равномерно распределённого в пространстве покоящегося газа, давление которого везде постоянно.

Если выделить в таком пространстве сферическую область радиусом $\! r$ и предположить, что эта область претерпела сжатие с начального объёма $\! V$ до объёма $\! (1 - \alpha) V$, где $\! \alpha \ll 1$, то пертурбация плотности $\! \delta \rho \approx \alpha \rho_0$ и пертурбация давления — $\delta p \approx \frac {dp} {d \rho_{0}} \alpha \rho_0$. Пертурбация давления определяется адиабатической сжимаемостью газа, и, с учётом соотношения скорости звука $\! a_{s}$ и адиабатической сжимаемости при данной плотности, может быть выражена через скорость звука: $\delta p \approx \alpha {a_{s}}^2 \rho_0$.

Если перейти к силам на единицу массы, то дополнительная сила упругости $\! F_p$, обусловленная пертурбацией давления $\! \delta p$:

$F_p = \nabla (\delta p) / \rho_0 \approx \delta p / (\rho_0 r) \approx \alpha {a_{s}}^2 / r$

(в приближении градиента давления $\! 1 / r$).

В то же время дополнительная сила тяготения $\! F_G$, обусловленная пертурбацией плотности для массы, заключённой в рассматриваемом объёме $M = \frac{4}{3} \pi \rho_o r^3$:

$F_G \approx G M \alpha /r^2 \approx G \rho_0 r \alpha$.

Если сравнить зависимость значения $\! F_G$ и $\! F_p$ от масштаба, то оказывается, что гравитационные силы пропорциональны размеру $\! r$ газового сгустка, в то время как силы упругости газа, определяемые градиентом давления, пропорциональны $\! 1 /r$. Вследствие этого при больших $\! r$ сила тяготения преобладает над силами упругости и сгусток сжимается. При небольших размерах сгустка картина обратная: силы упругости преобладают над силами тяготения — и при флуктуациях плотности небольшого размера образовавшиеся сгустки расширяются, порождая колебания, распространяющиеся со скоростью звука в среде, то есть силы давления газа не могут компенсировать силы тяготения в однородной среде при достаточно больших масштабах.

Таким образом, для заданных параметров изотропной упругой среды (с учётом только давления газа) существует критический размер $\! r_{crit}$ области, для которого $\! F_G = F_p$; в областях размера ниже критического возмущения релаксируют, а выше которого — усиливаются — длина волны Джинса:

$r_{crit} \approx a_{s}\sqrt{\frac{\pi}{G \rho}}$,

где $\! a_{s}$ — скорость звука в среде и $\! \rho$ — плотность среды.

В пределе для $\! r \ggg r_{crit}$ упругость газа пренебрежимо мала по сравнению с силами тяготения и сжатие приобретает характер свободного падения к центру конденсации. Возмущения больших масштабов $\! r \gg r_{crit}$ нарастают во времени экспоненциально $\! \sim \exp (\omega t)$, скорость возмущения зависит от плотности среды $\omega \sim \sqrt{G \rho}$.

Масса Джинса и процессы звездообразования

С длиной волны Джинса связана и масса Джинса — масса, заключённая в объёме $\! r_{crit}$:

$M_j \sim \rho r_{crit}^3$

Этот параметр имеет важное значение в рассмотрении процесса звездообразования в межзвёздных газопылевых облаках; масса Джинса определяет верхний предел стабильности таких облаков. В случае массивных облаков, то есть если масса облака существенно превышает массу Джинса, вследствие усиления флуктуаций плотности образуются области конденсации, начинающие коллапсировать независимо — происходит фрагментация облака.

Вместе с тем, поскольку длина волны Джинса зависит от скорости звука в среде, в свою очередь являющейся функцией температуры $\! a_s \sim (k T / m)^{1/2}$, масса Джинса зависит от температуры среды:

$M_j \sim \rho r_{crit}^3 \sim \rho (\frac {kT} {G \rho m})^{3/2} \propto T^{3/2} \rho^{-1/2}$,

где $\! m$ — молекулярная масса, $\! T$ — температура, а $\! k$ — постоянная Больцмана.

Эта зависимость массы Джинса от температуры и плотности во многом определяет дальнейшую эволюцию коллапса фрагментов. Судьба выделяющейся при гравитационном коллапсе энергии зависит от оптических свойств коллапсирующего фрагмента: в случае, когда фрагмент прозрачен, энергия из коллапсирующей области эффективно уносится излучением — особенно в случае наличия в составе облака пылевых частиц либо относительно тяжёлых атомов (углерод), переизлучающих в инфракрасной области и являющихся вследствие этого эффективным «холодильником». Сжатие таких прозрачных фрагментов становится неадиабатическим и протекает в режиме, близком к изотермическому^[3].

Поскольку масса Джинса с ростом плотности уменьшается ($M_j \propto \rho^{-1/2}$), то в таком «охлаждаемом» фрагменте или облаке, в свою очередь, могут образовываться новые области конденсации — этот механизм ответственен за «массовое» звездообразование с формированием звёздных ассоциаций.

При дальнейшем сжатии с ростом плотности и потере прозрачности сжатие становится адиабатическим, температура начинает расти, что, в свою очередь, ведёт к уменьшению при данной плотности массы Джинса и предотвращению дальнейшей фрагментации образующейся протозвезды.

Гравитационная неустойчивость в космологии

В общем случае поведение идеального газа с плотностью $\! \rho$, давлением $\! p$, удельной энтропией $\! S$ и полем скоростей $\mathbf{v}$ в поле тяготения $\varphi$ описывается уравнениями Пуассона:

${\nabla}^2 \varphi = 4 \pi G \rho$

(гравитационный потенциал),

уравнением Эйлера:

$\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \left( \mathbf{v} \cdot \nabla \right) \mathbf{v} + \frac{1}{\rho} \nabla p + \nabla \varphi = \mathbf{0}$

(движение идеальной сжимаемой жидкости или газа в поле тяготения),

уравнением непрерывности потока:

${\partial \rho \over \partial t} + \nabla\cdot (\rho \mathbf{v}) = 0$

и уравнением состояния:

$\frac{\partial S}{\partial t} + \left( \mathbf{v} \cdot \nabla \right) S = 0$

(адиабатический процесс).

$\mathbf{v} = 0$, $\! \rho = \rho_0 = const$, $\! S = S_0 = const$, $\! p = p(\rho_0 , S_0) = const$

Серьёзным затруднением в допущении Джинса являлось то, что из уравнения Эйлера при нулевых скоростях и градиентах давления следует, что для гравитационного потенциала $\nabla \varphi_0 = \mathbf{0}$, в то время как уравнение Пуассона требует ${\nabla}^2 \varphi_0 = 4 \pi G \rho$ — что выполнимо лишь при $\! \rho_0 = 0$ (см. также гравитационный парадокс).

Физическим смыслом этого противоречия является то, что бесконечная изотропная среда, заполненная газом, не может находиться в статическом равновесии.

Вместе с тем при переменной плотности это противоречие снимается, то есть однородное решение должно быть нестационарным, с изменяющейся во времени плотностью — в случае, когда плотность является функцией времени и определяется космологическими параметрами, решение Джинса может служить достаточно хорошим приближением в нестационарной космологической модели, в которой расширение или сжатие однородно заполняющёй пространство материи происходит в соответствии с законом Хаббла.

В отличие от стационарного решения Джинса, в нестационарных моделях изменение со временем плотности и скорости звука ведёт к изменению длины волны Джинса и в этом случае возмущения среднего масштаба растут уже не по экспоненциальному, а по степенному закону. Во Вселенной с доминированием нерелятивистского вещества (давление значительно меньше плотности кинетической энергии) возмущения плотности при её расширении растут по закону $\! \delta \rho / \rho \sim t^{2/3}$, при сжатии — по закону $\! \delta \rho / \rho \sim t^{-1}$; во Вселенной с доминированием релятивистского вещества (давление порядка плотности кинетической энергии) возмущения плотности при расширении растут по закону $\! \delta \rho / \rho \sim t$.

Если в настоящее время плотность определяется нерелятивистским веществом, то, согласно модели горячей Вселенной на начальных стадиях расширения плотность определялась ультрарелятивистским веществом и любые флуктуации плотности вследствие гравитационной неустойчивости должны были усиливаться по закону $\! \delta \rho / \rho \sim t$. Однако в этом случае уже на ранних стадиях расширения должны возникнуть крупномасштабные неоднородности, существенно нарушающие относительную изотропность распределения материи во Веленной, что не согласуется с наблюдаемой картиной изотропности реликтового излучения. Эта проблема решается в рамках инфляционной модели Вселенной со стадией экспоненциального расширения — неоднородности вследствие гравитационной неустойчивости, ведущие к образованию иерархической крупномасштабной структуры Вселенной, развиваются по окончании инфляционной стадии.

См. также

• Неустойчивость Рэлея — Тейлора

Примечания

1. ↑ Ю. А. Данилов. Ньютон и Бентли. Вопросы истории естествознания и техники. 1993. № 1. С.30
2. ↑ J.H. Jeans. The Stability of a Spherical Nebula. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character, Vol. 199, (1902), pp. 1-53
3. ↑ К. А. Постнов. Лекции по Общей Астрофизике для Физиков, § 5.3. Протозвезды. // astronet.ru

Литература

• Гравитационная неустойчивость в Физической энциклопедии
• Я. Б. Зельдович, И. Д. Новиков. Строение и эволюция вселенной. М.: Наука, 1975
• James Binney, Scott Tremaine. Galactic Dynamics. (Chapter 5, Stability of Collisionless Systems) Princeton University Press, ISBN 0-691-08445-9