Сепарабельное расширение

Сепара́бельное расшире́ние — алгебраическое расширение поля $E \subset K$, состоящее из сепарабельных элементов то есть таких элементов α, минимальный аннулятор f(x) над K для которых не имеет кратных корней. Производная f'(x) должна быть по вышеуказанному ненулевым многочленом. По определению все поля характеристики 0 сепарабельны, поэтому понятие сепарабельности нетривиально лишь для полей ненулевой характеристики p.

Для конечных расширений имеем следующую теорему:

Если KÌ EÌ K^*, где K^* — алгебраическое замыкание поля К, то E сепарабельно тогда и только тогда, когда число различных изоморфизмов σ E в алгебраическое замыкание K^* над K равно степени [E:K]. В случае несепарабельных расширений это число является делителем [E:K] и называется сепарабельной степенью [E:K]_s (частное равно некоторой степени характеристики).

Свойства сепарабельных расширений

Пусть KÌ EÌ F. Если EÉ K и FÉ E сепарабельны, то и FÉ K сепарабельно. Обратно, если FÉ K сепарабельно, то и EÉ K и FÉ E сепарабельны.

Если EÉ K сепарабельно, то для любого расширения FÉ K (если F и E содержатся в каком-нибудь поле) композит полей EF является сепарабельным расширением K.

Теорема о примитивном элементе:

Если E=K(α₁,α₂…α_n), где α₁ алгебраичен (хотя и не обязательно сепарабелен) над K, а α₂…α_n — алгебраичны и сепарабельны, то существует такой элемент θ, что E=K(θ) (т. н. примитивный элемент).

Обобщение сепарабельности на неалгебраические расширения

Вначале введём понятие линейной свободы двух расширений EÉ K и LÉ K. E называется линейно свободным от L над K, если любое конечное множество элементов E линейно независимое над K остаётся линейно независимым и над L. Легко доказывается симметричность этого определения: если E линейно свободно от L над K, то и наоборот, L линейно свободно от E над K.

Обозначим $K^{p^{-m}}$ — расширение поля, порождённое присоединением всех корней степени p^m из элементов K. Расширение E над K называется сепарабельным, если E для некоторого натурального m линейно свободно от $K^{p^{-m}}$ над K. Для алгебраических расширений это определение эквивалентно обычному. Можно доказать, что от числа m данное определение не зависит и равносильно линейной свободе E и $K^{p^{-\infty}}$ — композиту всех $K^{p^{-m}}$ (т. н. критерий Маклейна)

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967