Алгоритм Борувки

Алгори́тм Бору́вки — это алгоритм нахождения минимального остовного дерева в графе.

Впервые был опубликован в 1926 году Отакаром Борувкой в качестве метода нахождения оптимальной электрической сети в Моравии. Несколько раз был переоткрыт, например Флореком, Перкалом и Соллином. Последний, кроме того, был единственным западным ученым из этого списка, и поэтому алгоритм часто называют алгоритмом Соллина, особенно в литературе по параллельным вычислениям.

Алгоритм

Работа алгоритма состоит из нескольких итераций, каждая из которых состоит в последовательном добавлении рёбер к остовному лесу графа, до тех пор, пока лес не превратится в дерево, то есть, лес, состоящий из одной компоненты связности.

В псевдокоде, алгоритм можно описать так:

1. Изначально, пусть $T$ — пустое множество ребер (представляющее собой остовный лес, в который каждая вершина входит в качестве отдельного дерева).
2. Пока $T$ не является деревом (что эквивалентно условию: пока число рёбер в $T$ меньше, чем $V - 1$, где $V$ — число вершин в графе):
   • Для каждой компоненты связности (то есть, дерева в остовном лесе) в подграфе с рёбрами $T$, найдём самое дешёвое ребро, связывающее эту компоненту с некоторой другой компонентой связности. (Предполагается, что веса рёбер различны, или как-то дополнительно упорядочены так, чтобы всегда можно было найти единственное ребро с минимальным весом).
   • Добавим все найденные рёбра в множество $T$.
3. Полученное множество рёбер $T$ является минимальным остовным деревом входного графа.

Сложность алгоритма

На каждой итерации число деревьев в остовном лесу уменьшается по крайней мере в два раза, поэтому всего алгоритм совершает не более $O(\log V)$ итераций. Каждая итерация может быть реализована со сложностью $O(E)$, поэтому общее время работы алгоритмы составляет $O(E \log V)$ времени (здесь $V$ и $E$ — число вершин и рёбер в графе, соответственно).

Однако для некоторых видов графов, в частности, планарных, оно может быть уменьшено до $O(E)$.^[1] Существует также рандомизированный алгоритм построения минимального остовного дерева, основанный на алгоритме Борувки, работающий в среднем за линейное время.

См. также

• Минимальное остовное дерево

Литература

• Седжвик Р. Фундаментальные алгоритмы на C++, часть 5. Алгоритмы на графах. ISBN 5-93772-082-2.

Примечания

1. ↑ Eppstein, David (1999), "Spanning trees and spanners", in Sack, J.-R. & Urrutia, J., «Handbook of Computational Geometry», Elsevier, сс. 425–461 ; Mareš, Martin (2004), "«Two linear time algorithms for MST on minor closed graph classes»", Archivum mathematicum Т. 40 (3): 315–320, <http://www.emis.de/journals/AM/04-3/am1139.pdf> .