Гиперболическая группа

В алгебре, конечно-порождённая группа называется гиперболической, если она является гиперболической как метрическое пространство.

Определение

Более подробно, на конечно-порождённой группе с выбранными образующими есть естественная метрика — словарная. Группа называется гиперболической, если, снабжённая этой метрикой, она оказывается гиперболической как метрическое пространство. Поскольку при замене выбранной системы образующих метрика меняется квазиизометрично, а гиперболичность метрического пространства при этом сохраняется — понятие оказывается не зависящим от выбора системы образующих.

Примеры

• Поскольку гиперболичность это, в определённом смысле, "сходство" свойств метрического пространства с деревом — свободная группа (граф Кэли которой является деревом) с любым конечным числом образующих гиперболична.
• Группа PSL(2,Z) гиперболична.
• Конечная группа гиперболична.

Свойства

• Гиперболичность сохраняется при переходе к подгруппе конечного индекса.
• Любая гиперболическая группа является конечно-представленной: задаётся конечным числом образующих и конечным числом соотношений. (Как следствие, гиперболических групп — в отличие от всех групп вообще — лишь счётное число.)
• Гиперболичность влечёт за собой (а, на самом деле, равносильна) линейному изопериметрическому неравенству: тривиальное слово, записанное как произведение N образующих, представляется как произведение CN сопряжённых к базисным соотношениям (с определённым контролем на длину сопрягающих произведений).

Литература

• П. де ля Арп, Э. Гис, Гиперболические группы по Михаилу Громову
• Mikhail Gromov, Hyperbolic groups. Essays in group theory, 75—263, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.
• Rips, E. Sela, Z. Canonical representatives and equations in hyperbolic groups. Invent. Math. 120 (1995), no. 3, 489—512.