Поворот

У этого термина существуют и другие значения, см. Вращение (значения).

У этого термина существуют и другие значения, см. Поворот (значения).

Поворот фигуры в плоскости относительно точки O против часовой стрелки

Поворо́т (враще́ние) — движение, при котором по крайней мере одна точка плоскости (пространства) остаётся неподвижной.

В физике нередко поворотом называется неполное вращение, или, наоборот, вращение рассматривается как частный вид поворота. Последнее определение более строго, поскольку понятие поворот охватывает значительно более широкую категорию движений, в том числе и такое, при котором траектория движущегося тела в избранной системе отсчёта представляет собой незамкнутую кривую.

Связанные определения

• неподвижная точка называется центром вращения, неподвижная прямая называется осью вращения и т. д.

Типы вращений

• Вращение плоскости (пространства) называется собственным (вращение первого рода) или несобственным (вращение второго рода) в зависимости от того, сохраняет оно или нет ориентацию плоскости (пространства).
  • Несобственное вращение нельзя сделать малым (в смысле расстояния между каждой точкой и ее образом), собственное — можно сделать сколь угодно малым для любой ограниченной области пространства (то есть можно подобрать для ограниченной области сколь угодно малое собственное вращение).

Несобственное вращение является композицией некоторого зеркального отражения (на плоскости — осевой симметрии, в пространстве нечётной размерности — центральной) и собственного вращения.

Поворот в двумерном пространстве

На плоскости в прямоугольных декартовых координатах собственное вращение выражается формулами

$x'=x\cos\varphi-y\sin\varphi,$

$y'=x\sin\varphi+y\cos\varphi,$

где $\varphi$ — угол поворота, а центр вращения выбран в начале координат. При тех же условиях несобственное вращение плоскости выражается формулой

$x'=x\cos\varphi+y\sin\varphi,$

$y'=x\sin\varphi-y\cos\varphi.$

Матричный вид

При использовании матричного подхода точку $(x, y)$ записывают в виде вектора, затем умножают на матрицу:

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$.

$(x ', y')$ координаты точки, полученные вращением точки $(x , y)$.

Векторы $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ и $\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix}$ имеют одинаковую размерность.

Комплексный вид

Точку можно вращать с помощью комплексных чисел. Множество всех этих чисел геометрически представляет собой двумерную плоскость. Точка $(x, y)$ на плоскости представлена комплексным числом $~ z = x + iy$.

Вращение точки на угол $\theta$ можно осуществить умножением $e ^ {i \theta}$, используя формулу Эйлера

$\begin{align} e^{i \theta} z &= (\cos \theta + i \sin \theta) (x + i y) \\ &= (x \cos \theta + i y \cos \theta + i x \sin \theta - y \sin \theta) \\ &= (x \cos \theta - y \sin \theta) + i (x \sin \theta + y \cos \theta) \\ &= x' + i y' , \end{align}$

что дает такой же результат,

$\begin{align} x'&=x\cos\theta-y\sin\theta\\ y'&=x\sin\theta+y\cos\theta. \end{align}$

Свойства

• Если репер привязан к центру вращения, то реализуется ортогональной матрицей.
  • Вращения трехмерного евклидова пространства (с фиксированным центром) образуют группу O(3) (собственные — группу SO(3)).
  • Вращения двумерного пространства (плоскости) образуют соответственно группы O(2) и SO(2) (изоморфную U(1)).

См. также

• Ортогональное преобразование
• Ортогональная матрица
• Ортогональная группа
• Группа вращений
• Специальная ортогональная группа
• Вращательное движение — процесс непрерывного поворота в механике.