- Произведение (теория категорий)
-
Произведение двух или более объектов — это обобщение в теории категорий таких понятий, как декартово произведение множеств, прямое произведение групп и произведение топологических пространств. Произведение семейства объектов — это в некотором смысле самый общий объект, имеющий морфизмы во все объекты семейства.
Содержание
Определение
Пусть — категория, — индексированное семейство её (не обязательно различных) объектов. Произведение семейства — это такой объект , обозначаемый обычно и обладающий каноническими проекциями , что для любого объекта и семейства морфизмов существует единственный морфизм , для которого следующая диаграмма коммутативна
то есть . Произведение двух объектов обычно обозначают , при этом диаграмма принимает вид
Морфизм при этом иногда обозначается .
Единственность результата операции можно альтернативно выразить как равенство , верное для любых . [1]
Существует эквивалентное определение произведения. Произведение семейства — это такой объект , что для любого объекта функция , заданная как , биективна. [2]
Примеры
- В категории Set (категории множеств) категорное произведение совпадает с декартовым.
- В категории топологических пространств произведению пространств соответствует пространство, носитель которого является декартовым произведением носителей сомножителей, а топология определяется как произведение их топологий.
- В категории групп произведение групп определяется как их прямое произведение.
- Частично упорядоченное множество может рассматриваться как категория, причём морфизм из в существует тогда и только тогда (по определению), когда . При этом произведением семейства линейно упорядоченных объектов является их наибольшая нижняя грань, а копроизведением — наименьшая верхняя грань.
Свойства
- Если произведение объектов существует, то оно единственно с точностью до изоморфизма.
- Коммутативность:
- Ассоциативность:
- Если в категории существует терминальный объект , то
- Категория, в которой определено произведение любых двух объектов и имеется терминальный объект, является симметричным моноидом.
Дистрибутивность
В общем случае существует канонический морфизм , где плюс обозначает копроизведение объектов. Это следует из существования канонических проекций и вложений и из коммутативности следующей диаграммы:
Свойство универсальности для гарантирует при этом существование искомого морфизма. Категория называется дистрибутивной, если в ней этот морфизм является изоморфизмом.
Матрица преобразований
Любой морфизм
порождает множество морфизмов
задаваемых по правилу и называемых матрицей преобразования. Обратно, любая матрица преобразования задаёт единственный соответствующий морфизм Если в категории существует нулевой объект для которого для любого объекта существует единственный морфизм и единственный морфизм , то матрица преобразования , задаваемая по правилу
называется единичной матрицей.
- Пример
В категории конечномерных векторных пространств копроизведение пространств совпадает с их произведением и является их прямой суммой. В этом случае категорное и обычное понимание матрицы преобразования совпадают, так как любое конечномерное пространство можно разложить в прямую сумму одномерных. При этом матрица преобразования всего пространства задаётся через указание образов соответствующих базисных векторов и продолжение преобразования на всё пространство по линейности единственным образом.
См. также
- Копроизведение — двойственная произведению конструкция.
- Декартово замкнутая категория
Примечания
Литература
- С. Мак Лейн Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004 [1998].
- Жаринов В. В. Некоторые алгебро-геометрические методы в математической физике. — С. 8. — 82 с.
Категория:- Теория категорий
Wikimedia Foundation. 2010.