Теорема Гюльдена

Теоремы Гюльдена о телах вращения связывают их площадь и объём с длиной окружности, описываемой центром масс.

Первая теорема Гюльдена (о площади поверхности вращения)

Поверхность тела, образованного вращением плоской линии (замкнутой или незамкнутой) вокруг оси, лежащей в плоскости этой линии и не пересекающей ее, равна произведению длины вращающейся линии на длину окружности, радиусом которой служит расстояние от оси до центра тяжести линии.

Вторая теорема Гюльдена (об объеме тела вращения)

Объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси, расположенной в той же плоскости и не пересекающей фигуру, равен площади фигуры, умноженной на длину окружности, радиусом которой служит расстояние от оси вращения до центра тяжести фигуры.

Доказательство

Лемма

Пусть в плоскости по одну сторону от прямой расположено несколько материальных точек одинаковой массы. Тогда центр тяжести этой системы точек удален от прямой $l$ на расстояние, равное среднему арифметическому расстояний этих точек от прямой $l$.

Доказательство: Докажем лемму методом математической индукции. Обозначим число точек через $n$, сами точки через $M_1$, $M_2$, …, $M_n$, массу каждой точки через $m$, а расстояния точек от прямой $l$ через $r_1$, $r_2$, …, $r_n$.

Для $n=1$, утверждение леммы очевидно. Пусть лемма верна для $n-1$ точки. Тогда их центр тяжести $P$ находится на расстоянии

$r=\frac{r_1+r_2+...+r_n}{n-1}$.

Заменим систему материальных точек $M_1$, $M_2$, …, $M_{n-1}$ точкой $P$, сосредоточив в ней массу, равную $(n-1)m$. Остается найти центр тяжести $O$ двух материальных точек $P$ и $M_n$. Так как точка $P$ имеет массу $(n-1)m$, а точка $M_n$ —- массу $m$, то

$PO\; :\; OM_n\;=\;1\; :\; (n-1)$.

Следовательно, если $r^*$ —- расстояние от точки $O$ до прямой (рис. 1), то

$(r-r^*)\; :\; (r^*-r_n)\;=\;1\; :\; (n-1)$,

откуда

$r^*=\frac{(n-1)r+r_n}{n}=\frac{r_1+r_2+...+r_{n-1}+r_n}{n}$

Таким образом утверждение леммы справедливо для $n$ материальных точек.

Доказательство первой теоремы Гюльдена

Прежде всего докажем, что эта теорема справедлива, если кривая, о которой идет речь в теореме, является n-звенной ломаной, у которой все звенья имеют одну и ту же длину $m$. Середины звеньев ломаной обозначим через $M_1$, $M_2$, …, $M_n$, а расстояния от этих точек до прямой $l$ — через $r_1$, $r_2$, …, $r_n$. При вращении рассматриваемой ломаной вокруг прямой $l$ получается поверхность (рис. 2), состоящая из n частей, каждая из которых представляет собой боковую поверхность усеченного конуса. Так как боковая поверхность усеченного конуса равна произведению длины образующей на длину окружности среднего сечения, то площадь получившейся фигуры вращения равна

$S=m\ 2\pi r_1+m\ 2\pi r_2+...m\ 2\pi r_n$

Замечая, что длина рассматриваемой ломаной равна $P=mn$, можно переписать выражение для площади так:

$S=P\ 2\pi R$,

где

$R=\frac{r_1+r_2+...+r_n}{n}$

но центр тяжести ломаной, то есть центр тяжести точек $M_1$, $M_2$, …, $M_n$, в каждой из которых сосредоточена масса $m$, согласно лемме, отстоит от прямой $l$ на расстоянии $R$. Это означает, что в рассматриваемом частном случае первая теорема Гюльдена справедлива.

Теперь рассмотрим произвольную линию $K$, при вращении которой при вращении вокруг оси $l$ получается поверхность $Q$. Впишем в нее ломаную $L$, содержащую $m$ звеньев. При вращении $L$ вокруг оси $l$ получим поверхность $T$, площадь которой равна $S=P 2\pi R$, где $P$ — длина ломаной $L$, а $R$ — расстояние от центра тяжести ломаной $L$ до оси вращения $l$. Если считать $m\to 0$, то длина ломаной $L$ будет стремиться к длине линии $K$, площадь поверхности $T$ будет стремиться к площади поверхности $Q$, центр тяжести ломаной $L$ будет стремиться к центру тяжести кривой $K$. Так как для любого $m$ соотношение $S=P 2\pi R$ справедливо для $L$, то переходя к пределу $m\to 0$, найдем, что оно справедливо и для кривой $K$.