- Теорема Лебега о разложении меры
-
- Вводные определения
Пусть — монотонно неубывающая функция, непрерывная справа на отрезке . На вводится борелевская алгебра:
- ,
- ,
- ,
- ,
— мера Стилтьеса на отрезке , для производящей функции которой: . Поэтому можно продолжить меру на всю числовую прямую.
Частные случаи производящей функции:
- — функция скачков. Скачок всегда положительный, множество — из конечного или счётного числа точек (скаляров).
— дискретная мера.
- Функция F непрерывна, монотонно не убывает на , на .
— абсолютно непрерывная мера.
- — сингулярная функция (например, лестница Кантора, где приращение равно 1 на всём отрезке, но почти всюду const). Мера сосредоточена в точках роста функции.
- Теорема разложения меры
Любую меру Лебега — Стилтьеса можно представить в виде суммы трех мер — дискретной, абсолютно непрерывной, и сингулярной.
Категории:- Теоремы
- Теория меры
Wikimedia Foundation. 2010.