Релятивистская механика

Релятивистская механика — раздел физики, рассматривающий законы механики (законы движения тел и частиц) при скоростях, сравнимых со скоростью света. При скоростях значительно меньших скорости света переходит в классическую (ньютоновскую) механику.

Общие принципы

Релятивистская механика — теория, в которой, в отличие от классической механики, где пространственные координаты и время являются независимыми, при отсутствии голономных связей зависящих от времени, (время является абсолютным, то есть течёт одинаково во всех системах отсчёта) и действуют преобразования Галилея, события происходят в четырёхмерном пространстве, объединяющем физическое трёхмерное пространство и время (пространство Минковского) и действуют преобразования Лоренца. Таким образом, в отличие от классической механики, одновременность событий зависит от выбора системы отсчёта.

Основные законы релятивистской механики — релятивистское обобщение второго закона Ньютона и релятивистский закон сохранения энергии-импульса являются следствием такого «смешения» пространственных и временной координат при преобразованиях Лоренца.

Второй закон Ньютона в релятивистской механике

Сила определяется как $\vec F= \frac {d\vec p}{dt}$, также известно выражение для релятивистского импульса:

$\vec p = \frac{m \vec {v}}{ \sqrt{1-v^2/c^2}}.$

Взяв для определения силы производную по времени от последнего выражения, получим:

$\frac {d\vec {p}}{dt}=m\gamma\vec a +m\gamma^3\vec{\beta} (\vec {\beta} \vec {a} ),$

где введены обозначения: $\vec{\beta}\equiv \frac {\vec{v}}{c}$ и $\gamma \equiv \frac {1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$.

В результате выражение для силы приобретает вид:

$\vec F= m\gamma\vec a +m\gamma^3 \vec{\beta} (\vec {\beta} \vec {a} ).$

Отсюда видно, что в релятивистской механике в отличие от нерелятивистского случая ускорение не обязательно направлено по силе, в общем случае ускорение имеет также и составляющую, направленную по скорости.

Функция Лагранжа свободной частицы в релятивистской механике

Запишем интеграл действия, исходя из принципа наименьшего действия: $S= -\int\limits_{a}^{b}\alpha ds$, где $\alpha$-положительное число. Как известно из специальной теории относительности (СТО) $ds=c \sqrt{1-v^2/c^2}dt$, подставляя в интеграл движения, находим: $S=- \int\limits_{t_1}^{t_2} \alpha c \sqrt{1-v^2/c^2}dt$. Но, с другой стороны, интеграл движения, можно выразить через функцию Лагранжа: $S=\int\limits_{t_1}^{t_2}\mathcal{L}dt$. Сравнивая последние два выражения, нетрудно понять, что подынтегральные выражения должны быть равны, то есть:

$\mathcal{L}=- \alpha c \sqrt{1-v^2/c^2}$.

Далее, разложим последнее выражение по степеням $\frac{v}{c}$, получим:

$\mathcal{L}\simeq \alpha c + \frac{\alpha v^2}{2c}$, первый член разложения не зависит от скорости, а значит не вносит никаких изменений в уравнения движения. Тогда, сравнивая с классическим выражением функции Лагранжа: $\frac{m v^2}{2}$, нетрудно определить константу $\alpha$:

$\alpha = mc$. Таким образом, окончательно получаем вид функции Лагранжа свободной частицы:

$\mathcal{L}=-mc^2\sqrt{1-v^2/c^2}$.

Рассуждения, приведенные выше, можно рассматривать не только для частицы, но и для произвольного тела, лишь бы его части двигались как одно целое.

Релятивистская частица как неголономная система

Поскольку квадрат 4-вектора импульса $P_{\alpha}$ является постоянной величиной:

$P_{\alpha} P^{\alpha} - m^2 c^2=0,$

то релятивистская частица может рассматриваться как механическая система с неголономной связью в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве^[1][2][3].

Источники

1. ↑ O. Krupková and J. Musilová, «The relativistic particle as a mechanical system with non-holonomic constraints», J. Phys. A: Math. Gen. 34 (2001) 3859-3876.
2. ↑ O. Krupkova, J. Musilova, «The relativistic mechanics in a nonholonomic setting: A unified approach to particles with non-zero mass and massless particles» arXiv:0904.2933.
3. ↑ V.E. Tarasov «Relativistic non-Hamiltonian mechanics» Annals of Physics. Vol.325. No.10.(2010) p.2103-2119.

См. также

• Специальная теория относительности
• Теория относительности
• Релятивистски равноускоренное движение

Литература

• Паули В. Теория относительности. М.: Наука, 1991. 328 с.
• Принцип относительности. Сборник работ по специальной теории относительности. М.: Атомиздат, 1973.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 3-е, переработанное. — М.: Физматгиз, 1960. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II).
• Уиттекер Э. История теории эфира и электричества. Современные теории 1900—1926. Пер с англ. Москва, Ижевск: ИКИ, 2004. 464с. ISBN 5-93972-304-7 (Глава 2)

Разделы механики

 

Классическая механика  • Специальная теория относительности  • Теоретическая механика  • Общая теория относительности  • Релятивистская механика  • Квантовая механика
Механика сплошных сред	Газодинамика  • Гидродинамика  • Гидростатика
Прикладная механика	Сопротивление материалов  • Строительная механика  • Небесная механика