- Основная теорема арифметики
-
Основна́я теоре́ма арифме́тики утверждает:
Каждое натуральное число можно представить в виде , где — простые числа, причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.
Единицу можно также считать произведением нулевого количества простых чисел, «пустым произведением».
Как следствие, каждое натуральное число единственным образом представимо в виде
- где — простые числа, и — некоторые натуральные числа.
Такое представление числа называется его каноническим разложением на простые сомножители.
Содержание
Следствия
- Основная теорема арифметики даёт элегантные выражения для наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.
Доказательство
Доказательство основной теоремы арифметики опирается на лемму Евклида:
Если простое число делит без остатка произведение двух целых чисел , то делит или .
Существование. Пусть — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел, значит, тоже является произведением простых чисел. Противоречие.Единственность. Пусть — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на и получить два разных разложения числа , что невозможно. А если не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на , а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству.
История
В "Началах" Евклида теорема не встречается, однако уже в книге VII появляются предложения, которые ей эквивалентны. Нет точной формулировки и в книге "Введение в теорию чисел" Лежандра, написанной в 1798 году. Первая её точная формулировка и доказательство приводятся в книге К. Ф. Гаусса «Арифметические исследования», изданной в 1801 году. Почти во всех школьных учебниках доказательство этой теоремы не приводится, вероятно, из-за отсутствия её в работах Евклида.
См. также
Ссылки
- Жиков В.В. Основная теорема арифметики // Соросовский Образовательный Журнал. — 2000. — Т. 6. — № 3. — С. 112–117.
- Л. А. Калужин. Основная теорема арифметики. — Популярные лекции по математике. — М.: Наука, 1969. — 32 с.
- И. М. Виноградов. Основы теории чисел.
- Р. Курант, Г. Роббинс. Дополнение к главе I, § 4.2 // Что такое математика?
- Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 57-63. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3
- Видео доказательство основной теоремы арифметики
Категории:- Теория чисел
- Теоремы
- Доказательства
Wikimedia Foundation. 2010.