Двоякопериодическая функция

Графики синуса и косинуса — периодических функций с периодом T = 2π.

Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через какой-то ненулевой период, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (периода).

Определение

Пусть M есть абелева группа (обычно предполагается $M=(\R,+)$ — вещественные числа с операцией сложения или $(\mathbb C,+)$ — комплексные числа). Функция $f: M \to N$ называется периодической с пери́одом $T \not= 0$ , если справедливо

$f(x+T) = f(x), \quad \forall x \in M$.

Если это равенство не выполнено ни для какого $T \in M,\, T \not=0$ , то функция f называется апериоди́ческой.

Если для функции $f: \mathbb C \to N$ существуют два периода $T_1, T_2\not= 0$, отношение которых не равно вещественному числу, то есть $\frac{T_1}{T_2} \not\in \mathbb{R}$, то f называется двоякопериоди́ческой фу́нкцией. В этом случае значения f на всей плоскости определяются значениями в параллелограме, натянутом на T₁,T₂.

Замечание

Период функции определён неоднозначно. В частности, если T — период, то и любой элемент T' вида $T' = \underbrace{T+\cdots+T}_n$ , где $n \in \mathbb{N}$ — произвольное натуральное число, также является периодом.

Однако если у множества периодов $\{T, T>0, T\in\mathbb{R}\}$ имеется наименьшее значение, то оно называется основным (или главным) периодом функции.

Действия с периодическими функциями

Являются неверными утверждения относительно суммы периодических функций:

• Сумма 2 функций с соизмеримыми (даже основными) периодами T₁ и T₂ является функция с периодом НОК (T₁,T₂).
• Сумма 2 непрерывных функций с несоизмеримыми (даже основными) периодами является непериодической функцией.
• Не существует периодических функций, не равных константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа.

Примеры

• Вещественные функции синус и косинус являются периодическими с основным периодом 2π , так как

$\sin( x + 2\pi) = \sin x,\; \cos( x + 2\pi) = \cos x,\quad \forall x \in \mathbb{R}.$

• Функция равная константе f(x) = const является периодической, и любое число является её периодом. Главного периода не имеет.

• Функция $f(x) = x^2,\; x \in \mathbb{R}$ является апериоди́ческой.

См. также

• Периодичность
• Квазипериодическая функция

Ссылки

• Периодическая функция (Большая советская энциклопедия)