Диаграмма Дынкина

Эта статья описывает корневую систему в математике, для описания корневой системы растений смотрите — корень.

В математике, корневая система — это конфигурация векторов в евклидовом пространстве удовлетворяющая определенным геометрическим свойствам. Эта концепция является фундаментальной в теории групп Ли. С тех пор как группы Ли (и некоторые другие аналоги такие, как алгебраические группы) в течение двадцатого века появились во многих разделах математики, очевидно особенная природа корневых систем вступает в противоречие с числом областей, в которых они применяются. Более того, классификация корневых систем по диаграммам Дынкина, встречается в разделах математики не связанных явно с группами Ли (например, в теории сингулярностей).

Определение

Пусть V — конечномерное евклидово пространство с обычным скалярным произведением обозначаемым как $(\cdot,\;\cdot)$. Корневая система в V — это конечное множество Φ ненулевых векторов (называемых корневыми), которые удовлетворяют следующим свойствам.

Целостное условие для $\scriptstyle{\langle\alpha,\;\beta\rangle}$ заставляет $\scriptstyle\beta$ лежать на одной из вертикальных прямых. Комбинирование этого условия с целостным условием для $\scriptstyle{\langle\alpha,\;\beta\rangle}$ сводит возможные углы между $\scriptstyle\alpha$ и $\scriptstyle\beta$ не более чем к двум, для каждой из вертикальных прямых.

1. V является линейной оболочкой корневой системы.
2. Если два корня $\alpha \in \Phi$, $\beta \in \Phi$ являются коллинеарными векторами, то либо они совпадают, либо β = − α.
3. Для каждого корня $\alpha \in \Phi$, множество Φ замкнуто относительно отражения через гиперплоскость перпендикулярную α. То есть, для любых двух корней α и β, множество Φ содержит отражение β

   $\sigma_\alpha(\beta) =\beta-2\frac{(\alpha,\;\beta)}{(\alpha,\;\alpha)}\alpha \in \Phi.$

4. (Целостное условие) Если α и β есть корни в Φ, тогда проекция β на прямую проходящую через α есть полуцелое умножение α. То есть

   $\langle \beta,\; \alpha \rangle = 2 \frac{(\alpha,\;\beta)}{(\alpha,\;\alpha)} \in \mathbb{Z}.$

Принимая во внимание свойство 3, целостное условие эквивалентно утверждению, что разность между β и его отражением σ_α(β) равна корню α, умноженному на некоторое целое число. Следует отметить, что оператор

$\langle \cdot,\; \cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb{Z}$

определенный свойством 4 не является скалярным произведением. Он не симметричен и линеен только по первому аргументу.

Классификация корневых систем по диаграммам Дынкина

Примеры корневых систем ранга 1 и ранга 2

Существует только одна корневая система ранга 1 состоящая из двух ненулевых векторов $\{\alpha,\;-\alpha\}$. Эта система называется A₁.

В ранге 2 существуют четыре возможных варианта σ_α(β) = β + nα, где $n=0,\;1,\;2,\;3$.

Корневая система второго ранга

Корневая система $A_1\times A_1$	Корневая система A2
Корневая система B2	Корневая система G2

См. также

• E8 (математика)

Ссылки

• Дынкин Е. Б. Структура полупростых алгебр. Успехи математической науки, № 4(20), 1947, стр. 59—127.