Закон излучения Планка

Закон излучения Планка

Формула Планка — выражение для спектральной плотности мощности излучения абсолютно чёрного тела, которое было получено Максом Планком для равновесной плотности излучения u(ω,T). После того как вывод Релея — Джинса для излучения абсолютно чёрного тела, столкнулся с ультрафиолетовой катастрофой (расходимость при больших частотах), стало ясно, что классическая физика не в силах объяснить его излучение. Для вывода формулы Планк в 1900 году сделал предположение о том, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии (квантов), величина которых связана с частотой излучения выражением:


\varepsilon = \hbar \omega.

По сути это было «рождение» фотона. Коэффициент пропорциональности \hbar в последствии назвали постоянной Планка, \hbar = 1.054 · 10-34 Дж·с.

Содержание

Вывод для абсолютно чёрного тела

Излучение абсолютно чёрного тела

Выражение для средней энергии колебания частотой ω дается выражением:


        \overline{\varepsilon} = \frac{\hbar \omega}
                                      {\mathrm{exp}( \hbar \omega / kT) -1} \qquad\qquad (1)
.

Количество стоячих волн в трёхмерном пространстве равно:


        \mathrm{d}n_{\omega}= \frac{\omega^2 \mathrm{d} \omega}{\pi^2 c^3}   \qquad\qquad (2)

перемножив (1) и (2), получим плотность энергии, приходящуюся на интервал частот :


        u(\omega,T)\mathrm{d} \omega = \frac{\hbar \omega}
                                      {\mathrm{exp}(\hbar \omega / kT) -1}  
                            \cdot \frac{\omega^2 \mathrm{d} \omega}{\pi^2 c^3}
                                 
откуда:


        u(\omega,T)=\frac{\hbar \omega^3 }{\pi^2 c^3}
               \cdot \frac{1}
                          {\mathrm{exp}(\hbar \omega / kT) -1} \qquad\qquad (3)

Зная связь испускательной способности абсолютно чёрного тела f(ω,T) с равновесной плотностью энергией теплового излучения f(\omega,T)= \frac{c}{4} u(\omega,T), для f(ω,T) находим:


        f(\omega,T)=\frac{\hbar \omega^3 }{4 \pi^2 c^2}
               \cdot \frac{1}
                          {\mathrm{exp}(\hbar \omega / kT) -1} \qquad\qquad (4)

Выражения (3) и (4)носят название формулы Планка.

Испускательную способность АЧТ, выраженную через длину волны λ т.е. 	\varphi(\lambda, T) можно выразить используя соотношение:


        \varphi(\lambda, T)= \frac{2 \pi c}{\lambda^2}     \cdot   f(\frac{2 \pi c}{\lambda},T)
, получим


        \varphi(\lambda, T) = \frac{4\pi^2 \hbar c^2}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{\mathrm{exp}(2 \pi \hbar c/ kT \lambda) -1} \qquad\qquad (5)

Переход к формулам Релея—Джинса.

Формула Планка точно согласуется с экспериментальными данными во всём интервале частот от 0 до \infty. При малых частотах (больших длинах волн), когда \hbar \omega / kT \ll 1 можно разложить экспоненту по \hbar \omega / kT. В результате получим, что  \mathrm{exp}(\hbar \omega / kT) -1 \approx 1 + \hbar \omega / kT -1 =  \hbar \omega / kT , тогда (3) и (4) переходят в формулу Релея—Джинса.


        u(\omega,T) = kT \frac{\omega^2 }{\pi^2 c^3} 
и

        f(\omega,T) \mathrm{d} \omega = kT \frac{\omega^2 }{4 \pi^2 c^2}

Переход к закону Стефана — Больцмана.

Энергетическая светимость равна площади, ограниченной графиком функции f(ω,Т)

Для энергетической светимости следует записать интеграл:


        R= \int_0^{\infty} f(\omega,T)\mathrm{d} \omega 
         = \int_0^{\infty} \frac{\hbar \omega^3}{4 \pi^2 c^2} 
                                \cdot \frac{\mathrm{d} \omega }{\mathrm{exp}( \hbar \omega / kT) -1}

Введём переменную x = \hbar \omega / kT, тогда \omega = (kT/ \hbar)x , \mathrm{d} \omega = (kT/ \hbar) \mathrm{d}x, получим


        R= \frac{\hbar}{4 \pi^2 c^2} \cdot \left( \frac{kT}{\hbar} \right)^4 \int_0^{\infty} \frac{x^3 \mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{e}^x -1}.

Полученный интеграл имеет точное значение: ~\pi^4 / 15 , подставив его получим известный закон Стефана — Больцмана:


        R= \frac{\pi^2 k^4}{60 c^2 \hbar^3}T^4 = \sigma T^4

Подстановка численных значений констант даёт значение для  \sigma = 5,6704 \cdot 10^{-8} Вт/(м2 \cdot K4), что хорошо согласуется с экспериментом.

Переход к закону смещения Вина

Для нахождения закона, по которому происходит смещение максимума φ(λ,Т) в зависимости от температуры, надо исследовать функцию φ(λ,Т) на максимум.

Для перехода к закону Вина, необходимо продифференцировать выражение (5) по λ и приравнять нулю (поиск экстремума):


         \frac{ \mathrm{d} \varphi(\lambda, T)}{\mathrm{d} \lambda} = 
    \frac{
          4 \pi^2 \hbar c^2 
                             \left\{  
                                    \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda}
                                    \mathrm{exp} 
                                        \left( \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda} 
                                        \right)
                                    - 5 \left[ 
                                              \mathrm{exp} \left( \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda} \right) -1 
                                        \right]
                             \right\}
         }
         {\lambda^6 	\left[ \mathrm{exp} \left( \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda} \right) -1  \right]^2} =0
.

Значение λm, при котором функция достигает максимума, обращает в нуль выражение, стоящее в фигурных скобках. Обозначим  \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda_m} = x, получится уравнение:


       ~xe^x-5(e^x-1)=0
.

Решение такого уравнение даёт x=4.965. Следовательно  \frac{2 \pi \hbar c}{k T \lambda_m} = 4,965, отсюда немедленно получается:


        T \lambda_m = \frac{2 \pi \hbar c}{4.965 k} = b
.

Численная подстановка констант даёт значение для b, совпадающее с экспериментом.

Литература


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Полезное


Смотреть что такое "Закон излучения Планка" в других словарях:

  • закон излучения Планка — Смотри закон излучения Планка (формула Планка) …   Энциклопедический словарь по металлургии

  • закон излучения Планка — Planko spinduliavimo dėsnis statusas T sritis radioelektronika atitikmenys: angl. Planck s radiation law vok. Plancksches Gesetz, n rus. закон излучения Планка, m pranc. loi de Planck, f …   Radioelektronikos terminų žodynas

  • закон излучения Планка — Planko spinduliuotės dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Planck’s radiation law vok. Plancksches Strahlungsgesetz, n rus. закон излучения Планка, m pranc. loi de Planck, f …   Fizikos terminų žodynas

  • закон излучения Планка — Planko spinduliuotės dėsnis statusas T sritis Energetika apibrėžtis Tai dėsnis, išreiškiantis absoliučiai juodo kūno monochromatinės spinduliuotės intensyvumo priklausomybę nuo bangos ilgio ir temperatūros. atitikmenys: angl. Planck’s radiant law …   Aiškinamasis šiluminės ir branduolinės technikos terminų žodynas

  • закон излучения Планка (формула Планка) — [Planck s radiation law] закон распределения энергии в спектре равновесного излучения при определенной температуре. Был впервые выведен немецким физиком М. Планком в 1900 г. на основе гипотезы о том, что энергия испускается дискретными порциями… …   Энциклопедический словарь по металлургии

  • ПЛАНКА ЗАКОН ИЗЛУЧЕНИЯ — (формула Планка), закон распределения энергии в спектре равновесного излучения при определённой темп ре Т. Был впервые выведен нем. физиком М. Планком (М. Planck) в 1900 на основе гипотезы о том, что энергия испускается дискр. порциями квантами.… …   Физическая энциклопедия

  • закон излучения Кирхгофа — [Kirchhoffs radiation law) отношение излучательной способности ε0(λ, Т) тел к их поглощательной способности α(λ, Т) не зависит от природы излучения тела, равно излучательной способности абсолютно черного тела ε(λ, Т) не зависит от длины волны… …   Энциклопедический словарь по металлургии

  • закон излучения Вина — [Wien s radiation law] распределения энергии в спектре равновесного излучения в зависимости от абсолютной температуры (T). Открыт немецким физиком В. Вином, который в 1883 г. вывел формулу для общего вида распределения энергии в спектре… …   Энциклопедический словарь по металлургии

  • закон излучения Стефана — Больцмана — [Stefan Boltzmann radiation law] закон, устанавливающий пропорциональность 4 й степени абсолютной температуры T, полной объемной плотности ρ равновесного излучения (ρ = α • Т4, где α постоянная) и связанной с ней полной испускательной способности …   Энциклопедический словарь по металлургии

  • Закон излучения Стефана — Больцмана — Закон Стефана  Больцмана  закон излучения абсолютно чёрного тела. Определяет зависимость между мощностью излучения энергии нагретым телом и температурой нагрева. Формулировка закона: Мощность излучения абсолютно чёрного тела прямо пропорциональна …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»