Критерий Попова

Критерий Попова позволяет установить устойчивость нелинейной системы для нелинейностей, лежащих в секторе. Дает возможность установить абсолютную устойчивость в целом.

Формулировка критерия

Пусть линейная часть задана передаточной функцией $W(s)$, нелинейная часть находится в секторе $kx$. Пусть можно найти такое число $q$, чтобы выполнялось частотное неравенство

$\Re ((1+j q \omega) W(j \omega))+1/k>0$

Тогда система является абсолютно устойчивой в целом и тогда $x(t) \to \mathcal {1}$ при $t \to \mathcal {1}$. Распишем условие

$\Re ((1+j q \omega) W(j \omega)) = \Re ((1+j q \omega)(\Re W + j \Im W))=\Re(\Re W + j \Im W +j q \omega \Re W - q \omega \Im W) = \Re W - q \omega \Im W$

Вводят модифицированную АФЧХ (модифицированный годограф)^[1]

$\tilde{W}(j \omega)= \Re (W(j \omega))+j \omega \Im (W(j \omega))$

Тогда условие примет вид

$\Re (\tilde{W}(j \omega)) + 1/k > q \Im \tilde{W} (j \omega)$

Данное условие означает, что модифицированный годограф должен находиться правее прямой, проходящей через точку $(-1 / k , j0)$с угловым коэффициентом $q$ на комплексной плоскости.

Примечания

1. ↑ Отличие модифицированного годографа - мнимая часть домножена на $\omega$