Гексамино

Гексамино — полимино 6-го порядка, то есть плоская фигура, состоящая из шести равных квадратов, соединённых сторонами. С фигурами гексамино, как со всеми полимино, связано много задач занимательной математики.

35 фигур гексамино

Если не считать различными фигуры, совпадающие при поворотах и зеркальных отражениях, то различных («свободных») форм гексамино насчитывается 35 (см.рисунок)^[1]. Существует 60 видов «односторонних» гексамино (если зеркальные отражения считаются различными фигурами) и 216 видов «фиксированных» гексамино (различными считаются также и повороты).

Классификация гексамино по симметрии

35 свободных фигур гексамино по их свойствам симметрии можно разделить на 5 категорий:

• 20 фигур гексамино (на рисунке изображены серым цветом) асимметричны;
• 6 гексамино (изображены красным) имеют ось симметрии, параллельную линиям квадратной сетки;
• 2 гексамино (изображены зелёным) имеют диагональную ось симметрии;
• 5 гексамино (изображены синим) имеют центральную (вращательную) симметрию второго порядка;
• 2 гексамино (изображены фиолетовым) имеют две оси симметрии, параллельных линиям сетки.

Для односторонних гексамино (то есть если зеркальные отражения фигур считать различными), первая и четвёртая категории удваиваются в численности, что даёт дополнительно 25 гексамино, то есть в общей сложности 60. Для фиксированных гексамино (то есть если повороты также рассматривать как различные фигуры), то первая категория возрастёт в восемь раз по сравнению со свободнми гексамино, следующие три категории — в четыре раза, а из последней категории — в два. Это даст $20 \times 8 + (6 + 2 + 5) \times 4 + 2 \times 2 = 216$ фиксированных гексамино.

Составление фигур из гексамино

Квадрат 15×15 с отверстием 3×5, составленный из гексамино

Хотя полный набор из 35 гексамино имеет общую площадь 210 квадратов, из них невозможно составить какой-либо прямоугольник с такой площадью (3×70, 5×42, 6×35, 7×30, 10×21, 14×15) — в отличие от 12 пентамино, из которых можно сложить любой из прямоугольников 3×20, 4×15, 5×12 и 6×10. Доказать это можно, раскрасив гексамино и прямоугольник в шахматном порядке. Тогда 11 фигур гексамино будут иметь чётное количество квадратов обоих цветов (2 белых и 4 чёрных или наоборот), а остальные 24 гексамино — нечётное (3 белых и 3 чёрных). Таким образом, в любой фигуре, составленной из полного набора гексамино, число квадратов каждого цвета будет чётным. Но любой прямоугольник из 210 квадратов будет иметь 105 чёрных квадратов и 105 белых, то есть нечётное число.

Тем не менее, есть другие симметричные фигуры из 210 квадратов, которые могут быть составлены из гексамино. Например, квадрат 15×15 с прямоугольным отверстием 3×5 в центре имеет 106 белых и 104 чёрных квадрата (или наоборот) и может быть составлен из полного набора в 35 гексамино.^[2]

Некоторые симметричные укладки гексамино

• 

  «Параллелограмм» 15×14 с зубчатыми боковыми сторонами

• 

  Прямоугольник 19×11 с одноклеточным выступом

• 

  Прямоугольник 13×16 с двумя выступами

• 

  «Треугольник» с зубчатой гипотенузой

• 

  Прямоугольник 17×15 с крестообразным отверстием

Кроме того, из 60 односторонних гексамино, имеющих общую площадь в 360 единичных квадратов, можно составить прямоугольники 5×72, 6×60, 8×45, 9×40, 10×36, 12×30, 15×24 и 18×20.^[3]

Развёртки куба

11 из 35 фигур гексамино являются развёртками куба (см. рисунок). Сложить из них прямоугольник площадью в 66 единичных квадратов невозможно.^[4]

Примечания

1. ↑ Голомб С. В. Полимино. — Пер. с англ. В.Фирсова. — М.: Мир, 1975. — 207 с., ил.
2. ↑ http://www.mathematische-basteleien.de/hexominos.htm
3. ↑ Gerard’s Polyomino Solution Page
4. ↑ Гарднер М. Математические новеллы. — М.: Мир, 1974.