Метод Феррари

Метод Феррари — аналитический метод решения алгебраического уравнения четвёртой степени.

Описание метода

Пусть уравнение 4-й степени имеет вид

$x^4+ax^3+bx^2+cx+d = 0 \,$.

(1)

Если $y_1$ — произвольный корень кубического уравнения

$y^3-b y^2+(ac-4d)y-a^2 d+4 b d-c^2=0 \,$

(2)

(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений

$x^2+\frac{a}{2}x+\frac{y_1}{2}=\pm\sqrt{\left(\frac{a^2}{4}-b+y_1\right)x^2+\left(\frac{a}{2}y_1-c\right)x+\frac{y^2_1}{4}-d},$

где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом. Отметим, что дискриминанты исходного уравнения (1) четвёртой степени и уравнения (2) совпадают.

Представим уравнение четвёртой степени в виде:

$A x^4 + B x^3 + C x^2 + D x + E = 0,$

Его решение может быть найдено из следующих выражений:

$\alpha = - {3 B^2 \over 8 A^2} + {C \over A},$

$\beta = {B^3 \over 8 A^3} - {B C \over 2 A^2} + {D \over A},$

$\gamma = {-3 B^4 \over 256 A^4} + {B^2 C \over 16 A^3} - {B D \over 4 A^2} + {E \over A},$

если $\beta=0$, тогда, решив $u^4+\alpha u^2 + \gamma = 0$ и, сделав подстановку $x=u-{B\over 4A}$, найдём корни:

$x=-{B\over 4A}\pm_s\sqrt{-\alpha\pm_t\sqrt{\alpha^2-4\gamma}\over 2},\qquad\beta=0$.

$P = - {\alpha^2 \over 12} - \gamma,$

$Q = - {\alpha^3 \over 108} + {\alpha \gamma \over 3} - {\beta^2 \over 8},$

$R = -{Q\over 2} \pm \sqrt{{Q^{2}\over 4}+{P^{3}\over 27}}$, (любой знак квадратного корня подойдёт)

$U = \sqrt[3]{R}$, (три комплексных корня, один из которых подойдёт)

$y = - {5 \over 6} \alpha +U + \begin{cases}U=0 &\to -\sqrt[3]{Q}\\U\ne 0 &\to {-P\over 3U}\end{cases},$

$W=\sqrt{ \alpha + 2 y}$

$x = - {B \over 4 A} + { \pm_s W \pm_t \sqrt{-\left(3\alpha + 2 y \pm_s {2\beta\over W} \right) }\over 2 }.$

Два ±_s должны иметь одинаковый знак, ±_t — независимы. Для того, чтобы найти все корни, надо найти x для знаковых комбинаций ±_s,±_t = +,+ для +,− для −,+ для −,−. Двойные корни появятся два раза, тройные корни — три раза и корни четвёртого порядка — четыре раза. Порядок корней зависит от того, какой из кубических корней U выбран.

Вывод

Пусть имеется уравнение вида:

$\ x^4+ax^2+bx+c =0$

Обозначим корни уравнения как $x_1, x_2, x_3, x_4$. В канонической форме будет выполняться соотношение

$\ x_1+ x_2+ x_3+ x_4=0:$

Учитывая мнимость по меньшей мере двух корней можно представить корни как:

$\ x_1=W+iK$

$\ x_2=W-iK$

$\ x_3=-W+iV$

$\ x_4=-W-iV$

Причём W,V –действительные числа. Выразим a через корни уравнения

$\ a= x_1x_2+ x_1x_3+ x_1x_4+ x_2x_3+ x_2x_4+ x_3x_4= x_1x_2+(x_1+ x_2)(x_3+x_4)+ x_3x_4=$

$\ =(W^2+K^2)+ (W^2+V^2)-4W^2= V^2+K^2-2W^2$

Выразим К через остальные коэффициенты:

$\ K^2=a+2W^2- V^2$

$\ c= x_1x_2x_3x_4 =W^4+( V^2+K^2)W^2+K^2V^2= W^4+2W^4+aV^2+2W^2V^2- V^4+aW^2$

или

$\ V^4-(a+ 2W^2) V^2 +c-3W^4 - aW^2=0$

Итого

$\ V^2=1/2(( a+ 2W^2)\pm \sqrt{a^2-4c+ 8aW^2+16W^4})$

$\ b= x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4+ x_1x_3x_4+ x_2x_3x_4 =(W^2+K^2)*(-2W)+ (W^2+V^2)*(2W)=2W(V^2-K^2)=$

$\ =2W(2V^2- a-2W^2 )=2W*\sqrt{a^2-4c+ 8aW^2+16W^4}$

Или $\ b^2=2W^2*( a^2-4c+ 8aW^2+16 W^4)$

Отсюда $\ 32 W^6 +16aW^4+2(a^2-4c) W^2-b^2=0$

Заменяя $\ y=W^2$ получаем резольвенту, решив которую , находим W

История

С 15 лет Луиджи Феррари был учеником у миланского математика Джероламо Кардано и быстро обнаружил выдающиеся способности. К этому времени Кардано уже был известен алгоритм решения кубических уравнений; Феррари сумел найти аналогичный способ для решения уравнений четвёртой степени. Оба алгоритма Кардано опубликовал в своей книге "Высокое искусство".

См. также

• Теорема Абеля — Руффини
• Формула Кардано

Ссылки

• Поэтапный разбор решения Феррари на примере (англ.)