Тринадцатая проблема Гильберта

Трина́дцатая пробле́ма Ги́льберта — одна из 23 задач, которые Давид Гильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков. Она была мотивирована применением методов номографии к вычислению корней уравнений высоких степеней, и касалась представимости функций нескольких переменных, в частности, решения уравнения седьмой степени как функции от коэффициентов, в виде суперпозиции нескольких непрерывных функций двух переменных.

Проблема была решена В. И. Арнольдом совместно с А. Н. Колмогоровым, доказавшими, что любая непрерывная функция любого количества переменных представляется в виде суперпозиции непрерывных функций одной и двух переменных (и, более того, что в таком представлении можно обойтись, в дополнение к непрерывным функциям одной переменной, единственной функцией двух переменных — их суммой):^[1][2]

$f(x_1,\dots,x_n)=\sum_{q=0}^{2 n}\Phi_q\left(\sum_{p=1}^n\psi_{q,p}(x_p)\right).$

Постановка проблемы

Уравнения степеней до четвёртой включительно разрешимы в радикалах: для их решений существуют явные формулы (формула Кардано и метод Феррари для уравнений третьей и четвёртой степени соответственно). Для уравнений степеней, начиная с пятой, их неразрешимость в радикалах утверждается теоремой Абеля — Руффини. Однако, преобразования Чирнгауза позволяют свести общее уравнение степени n>4 к виду, свободному от коэффициентов при $x^{n-1}$, $x^{n-2}$ и $x^{n-3}$; для n=5 этот результат был получен Брингом в 1786, и для общего случая Джерардом в 1834.^[3]. Тем самым (после дополнительной перенормировки), решение уравнений степеней 5, 6 и 7 сводилось к решению уравнений вида

$x^5+ax+1=0$,

$x^6+ax^2+bx+1=0,$

$x^7+ax^3+bx^2+cx+1 = 0$

зависящих от одного,двух и трех параметров соответственно.

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел.

Непредставимость с сохранением класса гладкости

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться раздел, посвящённый утверждению Гильберта и результатам Витушкина и Колмогорова о непредставимости. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел.

Решение: теоремы Колмогорова и Арнольда

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел.

Литература

1. ↑ В. И. Арнольд, Избранное-60, М.: Фазис, 1997. С. 18, теорема 4.
2. ↑ On a constructive proof of Kolmogorov’s superposition theorem
3. ↑ Weisstein, Eric W. Tschirnhausen Transformation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

• В. И. Арнольд Избранное-60. — М.: Фазис, 1997.
• В. И. Арнольд О представлении непрерывных функций трех переменных суперпозициями непрерывных функций двух переменных // Матем. сб.. — 1959. — Т. 48(90). — № 1. — С. 3—74.
• А. Н. Колмогоров О представлении непрерывных функций нескольких переменных в виде суперпозиций непрерывных функций одной переменной и сложения // ДАН СССР. — 1957. — В. 5. — Т. 114. — С. 953—956.
• А. Г. Витушкин 13-я проблема Гильберта и смежные вопросы // УМН. — 2004. — Т. 59. — № 1(355). — С. 11–24.
• В. В. Прасолов Многочлены. — М.: МЦНМО, 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1
• В. И. Арнольд Топологические инварианты алгебраических функций. II // Функц. анализ и его прил.. — 1970. — В. 2. — № 4. — С. 1-9.
• В. И. Арнольд О классах когомологий алгебраических функций, сохраняющихся при преобразованиях Чирнгаузена // Функц. анализ и его прил.. — 1970. — В. 1. — № 4. — С. 84—85.
• Г. Н. Чеботарев К проблеме резольвент // Учён. зап. Казан. гос. ун-та. — 1954. — Т. 114. — № 2. — С. 189—193.
• Проблемы Гильберта / под ред. П. С. Александрова. — М.: Наука, 1969. — 240 с. — 10 700 экз.
• David Hilbert Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900  (нем.). — Текст доклада, прочитанного Гильбертом 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков в Париже. Архивировано из первоисточника 8 апреля 2012. Проверено 27 августа 2009.