Теорема Пэли — Винера

Теорема Пэли — Винера

В математике теорема Пэли — Винера связывает рост целой функции на $\C^n$ и преобразования Фурье обобщённой функции Шварца на компактном носителе.

В общем, преобразование Фурье может быть определено для любой характеристической обобщённой функции; более того, любая обобщённая функция v на компактном носителе есть характеристическая обобщённая функция. Если v — обобщённая функция с компактным носителем и f бесконечно дифференцируема, то выражение

$v(f) = v_x \left(f(x)\right)$

определено. В вышеуказанном выражении переменная x из v_x это искусственная переменная и показывающая что обобщённая функция может быть применима к рассматриваемому аргументу функции, как функцию от x.

Можно показать, что преобразование Фурье на v есть функция (в противоположность основной характеристической обобщённой функции) дающая значение от s по формуле

$\hat{v}(s) = (2 \pi)^{-n/2} v_x e^{-i \langle x, s\rangle}$

и по-этому функция может быть расширена на значения s комплексной плоскости $\C^n$. Это расширение преобразования Фурье для комплексной плоскости называется преобразованием Фурье-Лапласа.

Теорема

Целая функция F на $\C^n$ — преобразование Фурье — Лапласа обобщённой функции v на компактном носителе тогда и только тогда, когда для всех $z\in\C^n$

$|F(z)| \leqslant C (1 + |z|)^N e^{B|\,\operatorname{Im}\,z|}$

для некоторых констант C,N,B. Обобщённая функция v фактически будет иметь носитель в замкнутом шаре с центром в 0 и радиусом B.

Дополнительные условия на рост целой функции F дают основные свойства на обобщённую функцию v: для примера, если для каждого положительного N существует константа C_N такая, что для любого $z\in\C^n,$

$|F(z)| \leqslant C_N (1 + |z|)^{-N} e^{B| \,\operatorname{Im}\, z|}$

тогда v бесконечно дифференцируема и обратима.

Теорема носит имя Раймонда Пэли (en:Raymond Paley) (1907—1933) и Норберта Винера. Их формулировка была не в терминах обобщённых функций и понятиях, ставших непригодными со временем. Формулировка, представленная здесь, может быть приписана Ларсу Хёрмандеру (en:Lars Hörmander).