Теорема Боголюбова «об острие клина»

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Боголюбова.

Теорема Боголюбова «об острие клина» утверждает, что функция нескольких комплексных переменных, голоморфная в двух клиновидных областях с общим острием, на котором она непрерывна, является голоморфной и на острие. Данная теорема используется в квантовой теории поля для построения аналитического продолжения функций Вайтмана. Первая формулировка и доказательство теоремы были приведены^[1] Н. Н. Боголюбовым на международной конференции в Сиэтле, США (сентябрь 1956 года) и также опубликованы в монографии^[2] (дополнение А, теорема 1). Впоследствии другие доказательства и обобщения теоремы были приведены Йостом и Леманом (1957), Дайсоном (1958), Эпштейном (1960) и другими математиками.

Одномерный случай

Для функций одной комплексной переменной теорема «об острие клина» может быть сформулирована следующим образом.

• Теорема: Пусть f есть непрерывная комплекснозначная функция на комплексной плоскости, голоморфная в верхней и нижней полуплоскостях. Тогда она голоморфна на всей комплексной плоскости.

В этом примере клиньями являются верхняя и нижняя полуплоскости, а их общим острием — вещественная ось. Данная теорема может быть доказана с использованием теоремы Мореры.

Общий случай

В общем случае клином называется произведение конуса и открытого множества.

Пусть C — открытый конус с вершиной в нуле в вещественном пространстве Rⁿ. Пусть E — открытое множество в Rⁿ (острие). Определим клинья $W=E\times iC$ и $W'=E\times -iC$ в комплексном пространстве Cⁿ. Клинья $W$ и W' имеют общее острие E, где мы отождествляем E с произведением E и вершины конуса.

• Теорема Боголюбова «об острие клина»: Пусть f — непрерывная функция на объединении $W \cup E\cup W'$, голоморфная на обоих клиньях $W$ и W' . Тогда f также голоморфна на E (более точно, может быть аналитически продолжена на некоторую окрестность E).

Условия теоремы могут быть ослаблены. Во-первых, не обязательно задавать f целиком на клиньях, достаточно определить f в некоторой окрестности острия. Во-вторых, не обязательно предполагать, что f определена или непрерывна на острие, достаточно предположить, что равны обобщённые функции, заданные пределами f из двух клиньев на острие.

Применение в квантовой теории поля

В квантовой теории поля распределения Вайтмана есть граничные значения функций Вайтмана $W(z_1,\dots,z_n)$, зависящих от переменных $z_i$ комплексификации пространства Минковского. Они определены и голоморфны на клине, в котором мнимая часть каждого $z_i-z_{i-1}$ лежит в открытом положительном времениподобном конусе. Перестановки переменных дают $n!$ различных функций Вайтмана, определённых на $n!$ различных клиньев. Острием является множество пространственно-подобных точек. Из теоремы Боголюбова «об острие клина» следует, что все они являются аналитическими продолжениями одной голоморфной функции, заданной на связной области, содержащей все $n!$ клиньев. При этом равенство граничных значений на острие следует из аксиомы локальности в квантовой теории поля.

См. также

Применение теоремы «об острие клина» в квантовой теории поля:

1. Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. — М.: Наука, 1969.
2. Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Оксак А. И., Тодоров И. Т. Общие принципы квантовой теории поля. — 2-е изд. М.: Физматлит, 2006. ISBN 5922106120.
3. Стритер Р., Вайтман А. С. РСТ, спин и статистика и всё такое. 1966.

Примечания

1. ↑ Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных. — Москва: Наука, 1964. — P. 294—311.
2. ↑ Боголюбов Н. Н., Медведев Б. В., Поливанов М. К. Вопросы теории дисперсионных соотношений. — Москва: Физматгиз, 1958.