Гипотеза Эйлера

Гипотеза Эйлера утверждает, что для любого натурального числа $n > 2$ никакую n-ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы $(n - 1)$ $n$-х степеней других натуральных чисел. То есть, уравнения:

$\begin{matrix} a^3+b^3=c^3 \\ a^4+b^4+c^4=d^4 \\ a^5+b^5+c^5+d^5=e^5 \\ \dots \\ \sum\limits_{k=1}^{n-1} a_k^n = a_n^n \end{matrix}$

не имеют решения в натуральных числах.

Гипотеза была высказана в 1769 году Эйлером как обобщение великой теоремы Ферма, которая соответствует частному случаю n = 3. Таким образом, гипотеза Эйлера верна для n = 3.

Контрпримеры

В 1966 году Л. Ландер (англ. L. J. Lander), Т. Паркин (англ. T. R. Parkin) и Дж. Селфридж (англ. J. L. Selfridge) нашли первый контрпример для n = 5:^[1]

$27^5+84^5+110^5+133^5=144^5.$

В 1988 году Элкис (англ.) нашёл контрпример для случая n = 4:^[2]

$2682440^4+15365639^4+18796760^4=20615673^4.$

В 1988 году Роджер Фрай (англ. Roger Frye) нашёл наименьший контрпример для n = 4:^[2]

$95800^4+217519^4+414560^4=422481^4.$

Для n = 6 гипотеза Эйлера по-прежнему остается открытой проблемой.

Обобщения

В 1966 году Л. Д. Ландер (англ. L. J. Lander), Т. Р. Паркин (англ. T. R. Parkin) и Дж. Селфридж (англ. J. Selfridge) высказали гипотезу, что если $\sum_{i=1}^{n} a_i^k = \sum_{j=1}^{m} b_j^k$, где $a_i \ne b_j$ — положительные целые числа, $i=\overline{1, n}, j=\overline{1, m}$, то $m+n \ge k$.

В случае справедливости этой гипотезы из неё, в частности, следовало бы, что если $\sum_{i=1}^{n} a_i^k = b^k$, то $n \ge k-1$.

Набор положительных целых чисел, удовлетворяющий равенству $\sum_{i=1}^{n} a_i^k = \sum_{j=1}^{m} b_j^k$, где $a_i \ne b_j$, называется (k,n,m)-решением. Поиском таких решений для различных значений параметров k, n, m занимаются проекты распределенных вычислений EulerNet^[3] и yoyo@home.

См. также

• Великая теорема Ферма
• Задача о четырёх кубах
• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера

Примечания

1. ↑ L. J. Lander, T. R. Parkin, J. L. Selfridge (1967). «A survey of equal sums of like powers». Math. Comp. 21: 446-459. DOI:10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0.
2. ↑ ^{1 2} R. Gerbicz, J.-C. Meyrignac, U. Beckert. All solutions of the Diophantine equation a^6+b^6=c^6+d^6+e^6+f^6+g^6 for a,b,c,d,e,f,g < 250000 found with a distributed Boinc project, 2011, препринт.
3. ↑ EulerNet

Ссылки

• EulerNet
• Гипотеза Эйлера