Великая теорема Ферма

Издание 1670 года «Арифметики» Диофанта включает комментарий Ферма, в частности его «последнюю теорему» (Observatio Domini Petri de Fermat).

Вели́кая теоре́ма Ферма́ (или Последняя теорема Ферма) — одна из самых популярных теорем математики. Её условие формулируется на понятийном уровне среднего общего образования, а доказательство теоремы искали многие математики более трёхсот лет. Окончательно доказана в 1995 году Эндрю Уайлсом.

Формулировка

Теорема утверждает, что:

Для любого натурального числа $n>2$ уравнение $a^n+b^n=c^n\,\!$ не имеет натуральных решений $a$, $b$ и $c$.

История

Для случая $n=3$ эту теорему в X веке пытался доказать ал-Ходжанди, но его доказательство не сохранилось.

В общем виде теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году на полях «Арифметики» Диофанта. Дело в том, что Ферма делал свои пометки на полях читаемых математических трактатов и там же формулировал пришедшие на ум задачи и теоремы. Теорему, о которой ведётся речь, он записал с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы его можно было поместить на полях книги:

Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.

Оригинальный текст  (лат.)  

Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

Несколько позже сам Ферма опубликовал доказательство частного случая для $n=4$, что добавляет сомнений в том, что у него было доказательство общего случая.

Эйлер в 1770 году доказал теорему для случая $n=3$^[1], Дирихле и Лежандр в 1825 — для $n=5$, Ламе — для $n=7$. Куммер показал, что теорема верна для всех простых n, меньших 100, за возможным исключением т. н. иррегулярных простых 37, 59, 67.

Над полным доказательством Великой теоремы работало немало выдающихся математиков и множество дилетантов-любителей; считается, что теорема стоит на первом месте по количеству некорректных «доказательств». Тем не менее эти усилия привели к получению многих важных результатов современной теории чисел. Давид Гильберт в своём докладе «Математические проблемы» на II Международном конгрессе математиков (1900) так отозвался об этой проблеме^[2]:

Проблема доказательства этой неразрешимости являет разительный пример того, какое побуждающее влияние на науку может оказать специальная и на первый взгляд малозначительная проблема. Ибо, побуждённый задачей Ферма, Куммер пришёл к введению идеальных чисел и к открытию теоремы об однозначном разложении чисел в круговых полях на идеальные простые множители — теоремы, которая теперь, благодаря обобщениям на любую алгебраическую числовую область, полученным Дедекиндом и Кронекером, является центральной в современной теории чисел и значение которой выходит далеко за пределы теории чисел в область алгебры и теории функций.

В 1908 году немецкий любитель математики Вольфскель завещал 100 000 немецких марок тому, кто докажет теорему Ферма. Однако после Первой мировой войны премия обесценилась.

В 1980-х годах появился новый подход к решению проблемы. Из гипотезы Морделла, доказанной Фальтингсом в 1983 году, следует, что уравнение $a^n+b^n=c^n$ при $n>3$ может иметь лишь конечное число взаимно простых решений.

Последний, но самый важный, шаг в доказательстве теоремы был сделан Уайлсом в сентябре 1994 года. Его 130-страничное доказательство было опубликовано в журнале «Annals of Mathematics»^[3]. Доказательство основано на предположении немецкого математика Герхарда Фрая о том, что Великая теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы — Симуры (это предположение было доказано Кеном Рибетом при участии Ж.‑П.Серра^[4]).

Первый вариант своего доказательства Уайлс опубликовал в 1993 году (после 7 лет напряжённой работы), но в нём вскоре обнаружился серьёзный пробел, который с помощью Ричарда Лоуренса Тейлора удалось достаточно быстро устранить^[5]. В 1995 году был опубликован завершающий вариант^[6].

«Ферматисты»

Авторское свидетельство, выданное Министерством образования и науки Украины на доказательство теоремы Ферма Г. А. Середкину и Л. В. Шаповаловой

Простота формулировки теоремы Ферма (доступная в понимании даже школьнику), а также сложность единственного известного доказательства (или неведение о его существовании), вдохновляют многих на попытки найти другое, более простое, доказательство. Людей, пытающихся доказать теорему Ферма элементарными методами, называют «ферматистами» или «ферматиками».^[7] Ферматисты зачастую не владеют основами математической культуры и допускают ошибки в арифметических действиях или логических выводах, хотя некоторые представляют весьма изощренные «доказательства», в которых трудно найти ошибку.

Доказывать теорему Ферма в среде любителей математики было настолько популярно, что в 1972 году журнал «Квант», публикуя статью о теореме Ферма, сопроводил ее следующей припиской:^[7]

Редакция «Кванта» со своей стороны считает необходимым известить читателей, что письма с проектами доказательств теоремы Ферма рассматриваться (и возвращаться) не будут.

Немецкому математику Эдмунду Ландау очень докучали «ферматисты». Чтобы не отвлекаться от основной работы, он заказал несколько сот бланков со следующим текстом:

Уважаемый …! Благодарю Вас за присланную Вами рукопись с доказательством Великой теоремы Ферма. Первая ошибка находится на стр. … в строке …

Находить ошибку и заполнять пробелы в бланке он поручал своим аспирантам.

Примечательно, что отдельные ферматисты добиваются публикации своих (неверных) «доказательств» в ненаучной прессе, которая раздувает их значение до научной сенсации.^[8][9] Впрочем, иногда такие публикации появляются и в уважаемых научных изданиях,^[10] как правило, с последующими опровержениями.^[11] Среди других примеров:

• Брошюра В. И. Будкина, изданная в Ярославле под названием «Методика познания „истины“. Доказательство Великой теоремы Ферма» (47 стр., 5000 экз., Верхне-Волжское книжное издательство, 1975).^[12]
• Авторское свидетельство на доказательство теоремы Ферма, выданное Министерством образования и науки Украины Л. В. Шаповаловой и Г. А. Середкину. (Следует пояснить, что этот документ не удостоверяет каким-либо образом правильность доказательства, а лишь регистрирует авторские права на поданный в Министерство образования и науки печатный труд; на это министерство возложена обязанность ведения реестра таких свидетельств.^[13])

Теорема Ферма в культуре и искусстве

Великая теорема Ферма стала символом труднейшей научной проблемы и в этом качестве часто упоминается в беллетристике. Далее перечислены некоторые произведения, в которых теорема не просто упомянута, но является существенной частью сюжета или идеологии произведения.

• В повести Е. Велтистова «Победитель невозможного» друг Сыроежкина и Электроника Вова Корольков в качестве свободного задания по математике доказал Великую теорему Ферма.
• В телесериале «Звёздный Путь», капитан космического корабля Энтерпрайз NCC-1701-D Жан-Люк Пикар был озадачен разгадкой Великой теоремы Ферма во второй половине XXIV века, о чём он поведал в начале серии своему первому помощнику. Таким образом, создатели фильма предполагали, что решения у Великой теоремы Ферма не будет в ближайшее время. Серия «Рояль» с этим эпизодом была снята в 1989 году, когда Джон Уайлс был в самом начале своих работ. В действительности решение было найдено всего спустя 5 лет.
• В рассказе Артура Порджеса «Саймон Флэгг и дьявол»^[14] профессор Саймон Флегг просит помощи дьявола в доказательстве теоремы, но и дьявол оказывается бессилен. По этому рассказу был также снят игровой научно-популярный фильм «Математик и чёрт» (СССР, 1972, производство Центрнаучфильм, творческое объединение «Радуга», режиссёр Райтбурт).^[15]
• В рассказе Кира Булычева «Мечта заочника» студент-заочник Гаврилов приходит к профессору Минцу и приносит купленную курсовую работу, в которой приводится доказательство теоремы, с просьбой объяснить, что он написал.
• В посвящённой Хэллоуину 1995 года серии «Симпсонов» двумерный Гомер Симпсон случайно попадает в третье измерение. Во время его путешествия в этом странном мире, в воздухе парят геометрические тела и математические формулы, включая равенство $1782^{12}+1841^{12}=1922^{12}$. Калькулятор с точностью не более 9 значащих цифр подтверждает это равенство:

  1782¹² + 1841¹² = 2541210258614589176288669958142428526657 ≈ 254121026·10³¹

                1922¹² = 2541210259314801410819278649643651567616 ≈ 254121026·10³¹

Тем не менее, даже без вычисления точных значений легко видеть, что равенство неверно: левая часть — нечётное число, а правая часть — чётное.

• В первом издании «Искусства программирования» Дональда Кнута теорема Ферма приведена в качестве упражнения с математическим уклоном в самом начале книги и оценена максимальным числом (50) баллов, как «исследовательская проблема, которая (насколько это было известно автору в момент написания) ещё не получила удовлетворительного решения. Если читатель найдет решение этой задачи, его настоятельно просят опубликовать его; кроме того, автор данной книги будет очень признателен, если ему сообщат решение как можно быстрее (при условии, что оно правильно)». В третьем издании книги это упражнение уже требует знаний высшей математики и оценивается лишь в 45 баллов.
• В фильме «Доказательство» сюжет крутится вокруг доказательства теоремы Ферма, но это ни разу явно не упоминается в фильме.
• В книге Стига Ларссона «Девушка, которая играла с огнём»^[16] главная героиня Лисбет Саландер, обладающая редкими способностями к аналитике и фотографической памятью, в качестве хобби занята доказательством Великой теоремы Ферма, на которую она наткнулась, читая фундаментальный труд «Измерения в математике», в котором приводится и доказательство Эндрю Уайлса. Лисбет не хочет изучать готовое доказательство, а главным интересом становится поиск собственного решения. Поэтому всё своё свободное время она посвящает самостоятельному поиску «замечательного доказательства» теоремы великого француза, но раз за разом заходит в тупик. В конце книги Лисбет находит доказательство, которое не только совершенно отлично от предложенного Уайлсом, но и является настолько простым, что сам Ферма мог бы его найти. Однако, после ранения в голову она его забывает, и Ларссон не приводит никаких подробностей этого доказательства.
• Мюзикл «Последнее танго Ферма», изданный институтом Клэя, создан в 2000 году Дж. Розенблумом и Дж. С. Лессер по мотивам реальной истории Эндрю Уайлса. Главный герой по имени Дэниел Кин завершает доказательство теоремы, а дух самого Ферма старается ему помешать^[17].
• За несколько дней до своей смерти Артур Кларк успел отрецензировать рукопись романа «Последняя Теорема», над которой он трудился в соавторстве с Фредериком Полом. Книга вышла уже после смерти Кларка.
• В рассказе Натальи Дарьяловой «Великая и загадочная» сюжет строится на теореме Ферма. Рассказывается о том, как молодой человек, будучи студентом, занялся теоремой Ферма, и впоследствии стал математиком, получил несколько важных научных результатов, но совершенно загубил свою личную жизнь.
• В романе П. А. Загребельного «Разгон»^[18] скромный преподаватель математики из Одессы сумел доказать теорему, через некоторое время он становится академиком и возглавляет очень серьезное киевское НПО, занимающееся созданием электронно-вычислительных систем.
• А.П. Казанцев в своем романе "Острее шпаги" в 1983 в стиле Дюма довольно ярко описал Пьера Ферма и предложил оригинальную версию отсутствия доказательства самого Ферма.

См. также

• Малая теорема Ферма
• Гипотеза Биля
• Гипотеза Эйлера

Примечания

1. ↑ Ю. Ю. Мачис О предполагаемом доказательстве Эйлера // Математические заметки. — 2007. — Т. 82. — № 3. — С. 395-400. Английский перевод: J. J. Mačys (2007). «On Euler’s hypothetical proof». Mathematical Notes 82 (3-4): 352-356. DOI:10.1134/S0001434607090088. MR2364600.
2. ↑ Давид Гильберт. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ.
3. ↑ Wiles, Andrew (1995). «Modular elliptic curves and Fermat’s last theorem». Annals of Mathematics 141 (3): 443—551.  (англ.)
4. ↑ Соловьев Ю.П. Гипотеза Таниямы и последняя теорема Ферма // Соросовский образовательный журнал. — ISSEP, 1998. — Т. 4. — № 2. — С. 135–138.
5. ↑ Taylor, Richard & Wiles, Andrew (1995). «Ring theoretic properties of certain Hecke algebras». Annals of Mathematics 141 (3): 553—572. (англ.)
6. ↑ Стиллвелл Д. Математика и её история. — Москва — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — С. 199—200.
7. ↑ ^{1 2} Гастев Ю., Смолянский М. Несколько слов о Великой теореме Ферма // Квант. — 1972. — Т. 8. — С. 23-25.
8. ↑ Теоремой — по ракетам!
9. ↑ ЧЕЛОВЕЧЕСТВО МОЖЕТ РАССЛАБИТЬСЯ?
10. ↑ Человечество может расслабиться. Сайт Российской академии наук.
11. ↑ Теорема Ферма доказала, что попытки доказать её не прекратятся никогда. Сайт Российской академии наук.
12. ↑ Пионеры.
13. ↑ Постановление Кабинета министров Украины от 27.12.2001 г. N 1756 «О государственной регистрации авторского права…».
14. ↑ A. Porges (1954). «Devil and Simon Flagg». The Magazine of Fantasy and Science Fiction.. Русский перевод: А. Порджес Саймон Флэгг и дьявол // Квант. — 1972. — Т. 8. — С. 17-22. (альтернативная ссылка)
15. ↑ Игровой научно-популярный фильм «Математик и чёрт» (СССР, 1972 режиссёр Райтбурт). (альтернативные ссылки: часть 1, часть 2)
16. ↑ В 2010 году книга вышла на русском языке в издательстве «Эксмо», в оригинале название «Flickan som lekte med elden», в английском переводе «The girl who played with fire».
17. ↑ Fermat’s Last Tango
18. ↑ Загребельный П. А. Разгон. — М.: Советский писатель, 1982.

Литература

На русском

• Абраров Дмитрий. Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса.
• Кирсанов Ф. История Великой Теоремы Ферма.
• Рибенбойм П. Последняя теорема Ферма для любителей. — М.: Мир, 2003.
• Сингх С. Великая теорема Ферма. — М.: МЦНМО, 2000.

На английском

• Faltings, Gerd (1995). The Proof of Fermat’s last theorem by R. Taylor and A. Wiles, Notices of the AMS (42) (7), 743—746.
• Daney, Charles (2003). The Mathematics of Fermat’s last theorem. Retrieved Aug. 5, 2004.
• O’Connor, J. J. & and Robertson, E. F. (1996). Fermat’s last theorem. The history of the problem. Retrieved Aug. 5, 2004.
• Shay, David (2003). Fermat’s last theorem. The story, the history and the mystery. Retrieved Aug. 5, 2004.
• Donald C. Benson The Moment of Proof: Mathematical Epophanies. — Oxford University Press, 1999. — ISBN 0-19-513919-4