Признак Д’Аламбера

При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда

$\sum_{n=0}^\infty a_n$

существует такое число $q$, $0 < q < 1$, что начиная с некоторого номера выполняется неравенство

$\left| \frac {a_{n+1}} {a_{n}} \right| \le q,$

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

$\left| \frac {a_{n+1}} {a_{n}} \right| > 1,$

то ряд расходится.

Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме

Если существует предел

$\rho = \lim_{n \to \infty} \left| \frac {a_{n+1}} {a_n} \right|,$

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если $\rho < 1$, а если $\rho > 1$ — расходится .

Замечание. Если $\rho=1$, то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Доказательство

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел.

Примеры

• Ряд

$\sum_{n=0}^\infty \frac {z^n} {n!}$

абсолютно сходится для всех комплексных $z$, так как

$\lim \left|\frac {{z^{n+1}}/{(n+1)!}} {{z^n}/{n!}}\right| = \lim \frac {|z|} {n+1} = 0,$

• Ряд

$\sum_{n=0}^\infty n! \; z^n$

расходится при всех $z\not=0$, так как

$\lim \left| \frac {(n+1)! \; z^{n+1}} {n! \; z^n} \right| = \lim |(n+1)z| = \infty.$

• Если $\rho = 1$, то ряд может как сходиться, так и расходиться: оба ряда

$\sum_{n=1}^\infty \frac 1 n$     и     $\sum_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2}$

удовлетворяют этому условию, причём первый ряд расходится, а второй сходится.