Телескопический признак

Телескопический признак — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Огюстеном Коши.

Формулировка

Пусть для функции $f(x)$ выполняется: функция $f(x)$ монотонно убывает при $x \geqslant 1$ $f(x)\geqslant 0 \ \forall x \geqslant 1$ (функция принимает только неотрицательные значения) Тогда ряд $\sum_{n=1}^\infty f(n)$ сходится или расходится, одновременно с рядом $\sum_{n=0}^{\infty} 2^{n}f(2^{n})$.

Доказательство

{{subst:Шаблон:Доказательство/title=Доказательство|Телескопический признак}}

Обобщение

Оскар Шлёмильх сформулировал следующее обобщение телескопического признака.

Пусть: $f(x)$ — монотонно убывающая при $x \geqslant 1$ функция $f(x)\geqslant 0 \ \forall x \geqslant 1$ (функция принимает только неотрицательные значения) $\{u_n\}$ — строго возрастающая последовательность $u_n>0 \ \forall n$ последовательность $\{r_n\}=\left\{\frac{u_{n+1}-u_n}{u_n-u_{n-1}}\right\}$ ограничена Тогда ряд $\sum_{n=1}^\infty f(n)$ сходится или расходится, одновременно с рядом $\sum_{n=0}^{\infty} (u_{n+1}-u_n) f(u_n)$.